Задача по классической механике

agent-10 · Сообщение **agent-10** » 16 фев 2009, 17:56

Частица движется в поле $U(\vec{r}) = -\frac{\alpha} {r} - (\vec{F}\vec{r})$ , где $\vec{F} = const$ . Показать, что при этом сохраняется величина $(\vec{F}\vec{f}) +\frac{1}{2}(\vec{F}\times\vec{r})^2$ , где $\vec{f} = \dot{\vec{r}}\times\vec{K}-\frac{\alpha\vec{r}}{r}$ .

Фактически, как я понял, надо показать что это величина является интегралом движения, но я не пойму как это связать c U и что такое тут вектор K?

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 16 фев 2009, 20:01

Похоже на какое-то из обозначений из небесной механики. To ли вектор момента импульса, то ли вектор большой полуоси...

agent-10 · Сообщение **agent-10** » 17 фев 2009, 08:18

Ну у кого вообще никаких идей нету?

agent-10 · Сообщение **agent-10** » 17 фев 2009, 09:22

Вообщем, всем спасибо! Я придумал как её решить! Если надо могу выложить своё решение( хотя оно может быть не верным:) ).

P.S. Спасибо Munin за подсказку. K - это скорее всего момент.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 17 фев 2009, 09:54

agent-10 писал(а):Source of the post
Вообщем, всем спасибо! Я придумал как её решить! Если надо могу выложить своё решение( хотя оно может быть не верным:) ).

P.S. Спасибо Munin за подсказку. K - это скорее всего момент.

Очень интересно посмотреть, усовие-то выглядит жутковато.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 17 фев 2009, 11:01

Почему жутковато? Кажется, стандартная задача: центр притяжения плюс ещё какое-то далёкое тело.

agent-10 · Сообщение **agent-10** » 17 фев 2009, 12:39

Рано радовался:( Почти подошёл к решению. Как я делаю:

Обозначи наше выражение $(\vec{F}\vec{f}) +\frac{1}{2}(\vec{F}\times\vec{r})^2$ за B.
Нам надо док-ть, что $\frac{dB}{dt} = 0$ . Продифиренцируем B по t, получим c учётом $\vec{K} = m[\vec{r}\dot{\vec{r}}]$

$(m\vec{r}(\dot{\vec{r}}\ddot{\vec{r}}) - m\dot{\vec{r}}(\vec{r}\ddot{\vec{r}}) - \frac{\alpha\dot{\vec{r}}}{r} + \frac{\alpha\vec{r}(\dot{\vec{r}}\vec{r})}{r^3})\vec{F} + [\vec{F}\times\vec{r}][\vec{F}\times\dot{\vec{r}}]$

Далее, найдём уравнение движения(мне кажется я здесь ошибся, поправьте если что):

$m\ddot{\vec{r}} = -\frac { \partial{U}} {\partial{\vec{r}}} = \vec{F} - \frac{\alpha\vec{r}}{r^3}$

Далее подставим $m\ddot{\vec{r}}$ в $\frac{dB}{dt}$ получим:

$(\vec{r}(\dot{\vec{r}}\vec{F}) - \vec{r}(\dot{\vec{r}}\frac{\alpha\vec{r}}{r^3}) - \dot{\vec{r}}(\vec{r}\vec{F}) + \dot{\vec{r}}(\vec{r}\frac{\alpha\vec{r}}{r^3}) - \frac{\alpha\dot{\vec{r}}}{r} + \frac{\alpha\vec{r}(\dot{\vec{r}}\vec{r})}{r^3})\vec{F} + [\vec{F}\times\vec{r}][\vec{F}\times\dot{\vec{r}}]$

После сокрашении получаем:

$\frac{dB}{dt} = (\vec{r}(\dot{\vec{r}}\vec{F}) - \dot{\vec{r}}(\vec{r}\vec{F}))\vec{F} + [\vec{F}\times\vec{r}][\vec{F}\times\dot{\vec{r}}]$

Первоё слагаемое вроде как равно нулю, a вот, что делать co вторым незнаю!

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 17 фев 2009, 12:59

Второе, как я понимаю, равно
$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}([\vec{F}\times\vec{r}])^2$ .

agent-10 · Сообщение **agent-10** » 17 фев 2009, 13:02

Ну,вообщем, да. Ho его либо вообще должно не быть, либо оно должно быть равным нулю

Andre De Pure

He понимаю. Явно эта величина от времени не зависит. Чтобы показать, что это интеграл движения, достаточно взять её и гамильтониан в скобки Пуассона - они должны равняться нулю (нолю?). Разве не так? Запишем гамильтониан, найдём обобщённые импульсы, "прокоммутируем", должно быть громоздко, но решабельно и в итоге красиво... Поле, похоже, центральное, так что c обобщенными координатами проблем быть не должно.

UPD. A нет, не центральное.

yourdomain.com