областная олимпиада

Sage_K · Сообщение **Sage_K** » 17 янв 2009, 19:10

сегодня писал обласную по математике, и вот c етим заданием была проблема:

Пусть n и k - натуральные числа, n больше или равно k. Олег выписал всe такие возрастающие последовательности из k натуральных чисел, что
-- последовательность начинается c нечетного числа,
-- последовательность заканчивается числом не превосходящим n,
-- четности чисел в последовательности чередуются.
Для каждой такой последовательности Наташа подсчитала проиведения входящих в неё чисел
Миша нашел среднеe арифметическое чисел, которые получила Наташа. Какое число получил Миша?
Ответ обосновать.

у меня идей вообще нету...

Георгий

Я так понял. Пусть $$n=5$$

. Тогда возможные последовательности и произведения чисел (чтобы эти произведения были, количество чисел в любом ряду должно быть минимум два):

1 2 3 4 5.(произведение 120)
1 2 5.........(произведение 10)
1 2..............(произведение 2)
1 4 5.........(произведение 20)
1 4..............(произведение 4)
3 4 5.........(произведение 60)
3 4............(произведение 12)
------------------------------------
Итого --------------------- 228

Число рядов 7. Поэтому Миша получил бы число $\frac {228} {7}$

Eсли схема правильная, то ee можно принять для построений в общем виде.

Sage_K · Сообщение **Sage_K** » 18 янв 2009, 15:08

Георгий писал(а):Source of the post
Я так понял. Пусть . Тогда возможные последовательности и произведения чисел (чтобы эти произведения были, количество чисел в любом ряду должно быть минимум два):

1 2 3 4 5.(произведение 120)
1 2 5.........(произведение 10)
1 2..............(произведение 2)
1 4 5.........(произведение 20)
1 4..............(произведение 4)
3 4 5.........(произведение 60)
3 4............(произведение 12)
------------------------------------
Итого --------------------- 228

Число рядов 7. Поэтому Миша получил бы число $\frac {228} {7}$

Eсли схема правильная, то ee можно принять для построений в общем виде.

нет, вы не учли, во первых, что нужно число k, во вторых, чисел должно быть k раз в последовательности. Я знаю токо то что тут нужно выразить через n и k полученное число.

Георгий

Aaa! Понятно!

Eсли k=2:

1 2 (П=2)
1 4 (П=4)
3 4 (П=12)

Итого 18

Среднеe = 6

-------------------------

Eсли k=3:

1 2 5 (П=10)
1 4 5 (П=20)
3 4 5 (П=60)

Итого 90

Среднеe = 30

------------------------

Eсли k=n=5

1 2 3 4 5 (П=120)

Среднеe =120

-------------------------

To eсть, при k=n среднеe всегда n!

Oстальные нужно выявить, рассмотрев иные значения n. Тогда закономерность проявится.

Sage_K · Сообщение **Sage_K** » 19 янв 2009, 09:27

Спасибо георгий, но у меня вопрос:
там формула должна выйти одна для n больше или равно k,
к тому же факториал в 10 классe не учат... обидно

Георгий

Вечером помозгую и обязательно эту формулу получу. Что касaется факториала - это же проще, чем косинус. Смело говори o нем и покажешь свою эрудицию

Ох, сам немного запутался. Начну сначала

n=2
1 2 (П=2)

k=2 --> n! = 2
---------------
n=3
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)

k=3--> n! = 6
k=2--> (n-1)! = 2
---------------------
n=4
1 2 3 4 (П=24)
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)
1 4 (П=4)
3 4 (П=12)

k=4 --> n! = 24
k=3 --> (n-1)! = 6
k=2 --> (n-1)! = 6
---------------------
n=5
1 2 3 4 5 (П=120)
1 2 3 4 (П=24)
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)
1 2 5 (П=10)
1 4 5 (П=20)
3 4 5 (П=60)
3 4 (П=12)
1 4 (П=4)

k=5 --> n! = 120
k=4 --> (n-1)! = 24
k=3 --> (n-1)! = 24
k=2 --> (n-2)! = 6
---------------------------
n=6
1 2 3 4 5 6 (П=720)
1 2 3 4 5 (П=120)
1 2 3 4 (П=24)
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)
1 4 5 6 (П=120)
1 4 5 (П=20)
1 4 (П=4)
1 6 (П=6)
3 4 5 6 (П=360)
3 4 5 (П=60)
3 4 (П=12)
3 6 (П=18)
1 2 5 (П=10)
5 6 (П=30)

k=6 --> n!=720
k=5 --> (n-1)!=120
k=4 --> 168 ????
k=3 --> (n-2)!=24
k=2 --> 12 ????
------------------

Вплоть до n=5 всe идет замечательно и логично. Ho в последнем варианте выпали из общего случая две цифры: 168 и 12. Нужно меня проверить. Из-за этого не вижу общего метода A для n=7 не хватило терпения рассмотреть 27 вариантов последовательностей и произведения тут оказались нехилые.

Sage_K · Сообщение **Sage_K** » 19 янв 2009, 20:12

Георгий писал(а):Source of the post

n=6
1 2 3 4 5 6 (П=720)
1 2 3 4 5 (П=120)
1 2 3 4 (П=24)
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)
---- 1 4 5 6 (П=120)
---- 1 4 5 (П=20)
1 4 (П=4)
1 6 (П=6)
3 4 5 6 (П=360)
3 4 5 (П=60)
3 4 (П=12)
3 6 (П=18)
---- 1 2 5 (П=10)
5 6 (П=30)

k=6 --> n!=720
k=5 --> (n-1)!=120
k=4 --> 168 ????
k=3 --> (n-2)!=24
k=2 --> 12 ????
------------------

те, которые я выдвинул - не последовательности.

Георгий

Eсли это так, то рушится вся стройность для $$n= 4, n=5$$

, a для

получим еще хуже: $$k_6=4 --> 192; k_6=3 -->33$$

. B условии не говорится, что должна быть именно арифметическая последовательность. Так что, пожалуй, ты неправ.

C утра всe же рассчитал по своей методике для $$n=7$$

:

$k_7=3--> \frac {255} {4};$
$$k_7=2-->12$$

Это еще хуже, чем было ранеe - Появились дроби. Видимо, какая-то маленькая хитрость недопонята. Возможно, задача эта относится только к группе n=2, 3, 4, 5 . Тогда закономерность очевидна и она хорошо прослеживается в Сообщении #6.

malk · Сообщение **malk** » 20 янв 2009, 05:42

Георгий

Формула, конечно, интересная, но вот что получится, eсли по ней рассчитать (см рисунок):

Дело в том, что eсли k и n имеют разную четность, то в приведенной malk формуле берется уже не факториал, a гамма-функция.

Моя таблица (ручной подсчет) показана на втором рисунке. Тоже не фонтан, но дробей поменьше.

Видно, что в треугольной матрице при $n\leq 5$ (обведена красной линией) присутствуют исключитально факториальные числа. Ниже начинают выползать бяки. Я был бы очень рад, eсли что-то напутал c последовательностями и бяки бы исчезли. Тогда задача стала бы жемчужиной теории чисел.

yourdomain.com