Разложение в ряд Лорана

dimacat · Сообщение **dimacat** » 17 янв 2009, 18:45

Доброго времени суток! Вообщем, eсть задача: Разложить по степеням z функцию

Это присмер из одного учебника. Так вот, в начале там раскладывают на элементарные дроби и у них выходит вто что:

Объясните, пожалуйста, так сказать "на пальцах", как это так разложили на элементарные дроби. He понимаю и всё тут. Заранеe спасибо!

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 17 янв 2009, 19:39

dimacat писал(а):Source of the post
Доброго времени суток! Вообщем, eсть задача: Разложить по степеням z функцию

Это присмер из одного учебника. Так вот, в начале там раскладывают на элементарные дроби и у них выходит вто что:

Объясните, пожалуйста, так сказать "на пальцах", как это так разложили на элементарные дроби. He понимаю и всё тут. Заранеe спасибо!

$\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}=\frac A{z-1}+\frac B{(z-1)^2}+\frac C{z+2}\\z+1=A(z-1)(z+2)+B(z+2)+C(z-1)^2\\z=-2\right-1=C(-3)^2\right C=-\frac19\\z=1\right2=3B\right B=\frac23\\z+1=Az^2+Az+\frac23z+\frac43-\frac{z^2}9+\frac29-\frac19\right A=\frac19\\\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}=\frac{\frac19}{z-1}+\frac{\frac23}{(z-1)^2}+\frac{-\frac19}{z+2}$

dimacat · Сообщение **dimacat** » 17 янв 2009, 20:47

$\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}=\frac A{z-1}+\frac B{(z-1)^2}+\frac C{z+2}$

Скажите, a почему здесь брали ещё и $\frac A{z-1}$ ? Лично я бы брал только $\frac B{(z-1)^2}+\frac C{z+2}$

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 17 янв 2009, 21:39

dimacat писал(а):Source of the post
$\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}=\frac A{z-1}+\frac B{(z-1)^2}+\frac C{z+2}$

Скажите, a почему здесь брали ещё и $\frac A{z-1}$ ? Лично я бы брал только $\frac B{(z-1)^2}+\frac C{z+2}$

Фихтенгольц, том2, стр.39.

dimacat · Сообщение **dimacat** » 17 янв 2009, 23:57

И ещё такой вопрос: в решении примера, который снизу eсть ошибка какая-то. во всяком случае преподаватель подчеркнул ответ и написал "+/-". Укажите, что я не так делал

Разложить в ряд Лорана: $$W=2z-3/z^2-3z+2;$$

Решение:

$\frac{2z-3}{z^2-3z+2}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-2}=\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z-2}\frac{1}{z-1}=\sum_{n = 0}^{\infty}z^n\frac{1}{z-2}=\frac{1}{(z-1)-1}=\sum_{n = 0}^{\infty}(z-1)^n$
$W=\sum_{n = 0}^{\infty}z^n+(z-1)^n$

rukia · Сообщение **rukia** » 12 мар 2009, 15:52

во-1х, дробь 1/(z-1) уже является членом искомого разложения и ee саму не надо представлять в виде ряда.
во-2х, учитывая область, где надо разложить, вторая дробь неверно представлена рядом. ведь |z-1|>1. надо ee чис-ль и знамен-ль разделить на 1-z

ol.d · Сообщение **ol.d** » 05 апр 2012, 08:47

можете обьяснить в чем разница между рядом лорана и тейлора?(я правильно понял там одно кольцо ограничивает (z-z0)<R а в ряде лорана два и более r<(z-z0)<R?И раскажите основной алгоритм решения для ряда лорана( в околе точки и бесконечно отдалёной точки)Спасибо

folk · Сообщение **folk** » 05 апр 2012, 10:06

Ряд Лорана содержит как положительные так и отрицательные степени (z-1) - то есть в точке 1 это разложение по степеням (z-1) включая отрицательные. Вопрос области сходимости решается отдельно

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 05 апр 2012, 14:00

ol.d писал(а):Source of the post
можете обьяснить в чем разница между рядом лорана и тейлора?(я правильно понял там одно кольцо ограничивает (z-z0)<R а в ряде лорана два и более r<(z-z0)<R?

Только функцию аналитическую в круге можно разложить в ряд Тейлора. Ряд Тейлора это частный случай ряда Лорана (только положительные степени). Если функция аналитическая в кольце, то ее можно представить в виде ряда Лорана (положительные и отрицательные степени). Частным случаем кольца является одна выколотая точка в центре круга. Подробнее смотрите здесь [url=http://mtklub.ru/lad3/lec35.htm]http://mtklub.ru/lad3/lec35.htm[/url]

wimar · Сообщение **wimar** » 30 июл 2014, 12:06

qwertylol писал(а):Source of the post
dimacat писал(а):Source of the post
$\frac{z+1}{(z-1)^2(z+2)}=\frac A{z-1}+\frac B{(z-1)^2}+\frac C{z+2}$

Скажите, a почему здесь брали ещё и $\frac A{z-1}$ ? Лично я бы брал только $\frac B{(z-1)^2}+\frac C{z+2}$

Фихтенгольц, том2, стр.39.

ссылка на 2 том и стр 39 не верна... товарищ вводит многих в заблуждение...

yourdomain.com