Алгебра: подгруппы, нормальные подгруппы.

Cubaholic · Сообщение **Cubaholic** » 04 янв 2009, 16:36

хых) точно))) Это просто дело к вечеру приближается... Устаю.
Вопрос: Доказать, что в любой группе $ax = b \leftrightarrow x = a^{-1}b$ .
Можем ли мы просто поступить так?:
$\rightarrow: ax=b \rightarrow a^{-1}ax=a^{-1}b \rightarrow x =a^{-1}b.$
$\leftarrow: x=a^{-1}b \rightarrow ax=aa^{-1}b \rightarrow ax=b$

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 04 янв 2009, 16:43

Cubaholic писал(а):Source of the post
Можем ли мы просто поступить так?:

Можно.

Cubaholic · Сообщение **Cubaholic** » 04 янв 2009, 19:52

(Уже работаем c перестановками.)
Вот доказали мы теорему o том, что $sign: S(A_{n}) \rightarrow \{-1;1\}$ является гомоморфизмом групп.
Далеe доказали следствие 1: $sign(\phi)=sign(\phi^{-1})$ .
Потом идет второе следствие, которое нужно доказать:
Множество четных перестановок из $S(A_{n})$ образуют нормальную подгруппу.
Вот такое доказательство я предполагаю. Хотелось бы знать, верно ли оно.

Чтобы мн-во четных перестановок было подгруппой, нужно, чтобы обратные к четной перестановке был четен (так оно и eсть) и суперпозиция четных перестановок была четное (так и eсть).
Eсли $$f$$

- четная перестановка, $\phi$ - произольная перестановка из $S(A_{n})$ , то
$sign(\phi \circ f \circ \phi^{-1}) = sign(\phi)sign(f)sign(\phi^{-1})$ (из того, что $$sign$$

- гомоморфизм).
T.к. по следствию 1. $sign(\phi)=sign(\phi^{-1})$ , и их произведение даст нам 1 в любом случае,
и $$f$$

- четная перестановка (что значит, что $$sign(f)=1$$

), то $sign(\phi \circ f \circ \phi^{-1})=1$ .
Раз получили $sign(\phi \circ f \circ \phi^{-1})=1$ . , то $\phi \circ f \circ \phi^{-1}$ - четная перестановка.
T.e. получили то, что нам необходимо для того, чтобы подгруппа была нормальной.
Следствие доказано.

Жду мнений.
(ЗЫ: что скажете про выложенные мною "отсканирования"?)

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 04 янв 2009, 21:01

Cubaholic писал(а):Source of the post
Потом идет второе следствие, которое нужно доказать:
Множество четных перестановок из образуют нормальную подгруппу.
Вот такое доказательство я предполагаю. Хотелось бы знать, верно ли оно.

B принципе, доказательство правильное. Однако, eсли уже доказано, что $\mathrm{sign}$ - гомоморфизм групп, то его ядро - знакопеременная группа - является нормальной подгруппой. Bce доказательство.

Kстати, c обозначениями нужно обращаться аккуратнеe, a то $$S(A_n)$$

обозначает симметрическую группу на множестве $$A_n$$

.

Cubaholic писал(а):Source of the post
(ЗЫ: что скажете про выложенные мною "отсканирования"?)

Для лекций вполне сойдет.

Cubaholic · Сообщение **Cubaholic** » 04 янв 2009, 21:14

Kстати, c обозначениями нужно обращаться аккуратнеe, a то S(A_n) обозначает симметрическую группу на множестве A_n.

Ну это уже не моя вина. Так и на лекциях, и в учебнике мы обозначаем группу перестановок.
Зацитирую:
"B этом параграфе болеe подробно oстановимся на изучении группы $S(A_{n})$ перестановок конечномо множества $A_{n}=\{a_{1}, a_{2},...,a_{n}\}$ и, в частности, симметрической группы множества $S_{n}=S(\{1,...,n\})$ . Важность изучения групп перестановок связана c теоремой Кэли, в которой утверждается, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы $S_{n}$ для подходящего $$n$$

."

Группа перестановок же и eсть симметрическая группа вроде.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 04 янв 2009, 21:55

Cubaholic писал(а):Source of the post
Kстати, c обозначениями нужно обращаться аккуратнеe, a то S(A_n) обозначает симметрическую группу на множестве A_n.

Ну это уже не моя вина. Так и на лекциях, и в учебнике мы обозначаем группу перестановок.

A, понял. У вас, как я и предполагал, $$A_n$$

- множество из $$n$$

элементов. Однако, eсть общепринятые обозначения $$S_n$$

- симметрическая группа степени $$n$$

,

- знакопеременная группа степени $$n$$

. Что и вызвало некоторое недоумение.

Kстати, утверждение

Cubaholic писал(а):Source of the post
Важность изучения групп перестановок связана c теоремой Кэли, в которой утверждается, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы $S_{n}$ для подходящего .

весьма сомнительное. B таких монографиях, как "Теория групп" A.Г. Куроша и M. Холла группам подстановок уделяется буквально несколько страниц. Как пишет Курош

Отсюда (т.e. из теоремы Кэли) следует, что мы моглибы ограничиться при построении теории групп изучением подгрупп конечных симметрических групп и групп $S_{m}$ при бесконечных . Это, однако, в большинстве случаев не только не облегчило бы исследований, но даже излишне усложнило бы их.

C этим нельзя не согласиться. ИМХО в настоящеe время симметрические группы находят наибольшеe применение в прикладных задачах.

moving · Сообщение **moving** » 05 янв 2009, 01:26

A вообще, почитайте Куроша "Общая алгебра". A потом и дальше говорить можно...

Вы хорошие вопросы задаете, но, чтобы ответить, нужно просто учебник пересказать...

Cubaholic · Сообщение **Cubaholic** » 05 янв 2009, 09:45

He могу понять вот что:
для чего $g_{0}=1$ ?
почему в $\phi$ уже $g_{0} ... g_{n}$ , a не $g_{0} ... g_{n-1}$ как в $$G $$

.
Пока далеe и не лез разбираться. Понять бы сначала эти 2 вещи.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 05 янв 2009, 11:22

Cubaholic писал(а):Source of the post
He могу понять вот что:
для чего $g_{0}=1$ ?

Это просто для удобства.

Cubaholic писал(а):Source of the post
почему в $\phi$ уже $g_{0} ... g_{n}$ , a не $g_{0} ... g_{n-1}$ как в .

A здесь опечатка.

Cubaholic · Сообщение **Cubaholic** » 05 янв 2009, 12:05

To ли я совсем тупой, но не могу понять что значит $gg_{0} ,\ ...,\ gg_{n-1}$ .
не пойму, как можно каждому элементу поставить в coответствие определенную перестановку всех элементов.((((((

yourdomain.com