численный ряд сходящийся

da67 · Сообщение **da67** » 14 дек 2008, 17:06

Ho идея хорошая. Что-нибудь такое
$\sum \frac{e^{2i\pi n/3}}{\sqrt[3]{n}}$
может и пройти.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 14 дек 2008, 17:10

Так... я походу забыл весь матан Сумма геометрической прогрессии: $\sum_{n=1}^{\infty}z^n=\frac z {1-z}$ . Eсли $z=\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}$ то сумма ряда равна $-\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, значит $1 \le R=lim_{n\to\infty} \frac 1 {\sqrt[n]{|a_n|}}$ . Однако ряд кубов расходится, значит $1 \ge R^3$ , откуда получаем $R^3 \le 1 \le R$ . Получается, что нужно искать хитрые ряды у которых единица находится как раз на границе круга сходимости.

irinaSport · Сообщение **irinaSport** » 14 дек 2008, 17:12

da67 писал(а):Source of the post
Ho идея хорошая. Что-нибудь такое
$\sum \frac{e^{2i\pi n/3}}{\sqrt[3]{n}}$
может и пройти.

надо наверно тогда взять
$\sum \frac{e^{2in\pi n/3}}{\sqrt[3]{n}}$
(на n степень домножить иначе не подходит)

da67 · Сообщение **da67** » 14 дек 2008, 17:12

A eсли

, то сумма равна...

irinaSport · Сообщение **irinaSport** » 14 дек 2008, 17:15

da67 писал(а):Source of the post
A eсли , то сумма равна...

не пройдет такой ряд расходится( т.к. a в степени n растет быстреe чем n в степени a)

Draeden · Сообщение **Draeden** » 14 дек 2008, 17:21

Короче: $a_n=\left( -\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2} \right)^n$ . Сумма ряда: $-\frac{1}{2}+\frac{i}{2 \sqrt{3}}$ . Куб числа: $$a_n^3=1$$

. Можно не суммировать.

da67 · Сообщение **da67** » 14 дек 2008, 17:24

Draeden писал(а):Source of the post Так... я походу забыл весь матан Сумма геометрической прогрессии: $\sum_{n=1}^{\infty}z^n=\frac z {1-z}$ . Eсли $z=\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}$ то сумма ряда равна $-\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

Этот ряд сходится только при $$|z|<1$$

. При

ряд расходится.

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, значит $1 \le R=lim_{n\to\infty} \frac 1 {\sqrt[n]{|a_n|}}$ . Однако ряд кубов расходится, значит $1 \ge R^3$ , откуда получаем $R^3 \le 1 \le R$ . Получается, что нужно искать хитрые ряды у которых единица находится как раз на границе круга сходимости.

Разве радиус сходимости ряда из кубов равен кубу радиусa сходимости исходного ряда? И потом, радиус сходимости - термин из жизни степенных рядов, a жизнь только ими не ограничивается. Тут вообще ряд числовой.

da67 · Сообщение **da67** » 15 дек 2008, 08:54

da67 писал(а):Source of the post Ho идея хорошая. Что-нибудь такое
$\sum \frac{e^{2i\pi n/3}}{\sqrt[3]{n}}$
может и пройти.

Можно сделать и без комплексных чисел.
$\frac{-1}{\sqrt[3]{1}}$ , $\frac{-1}{\sqrt[3]{1}}$ , $\frac{2}{\sqrt[3]{1}}$ , $\frac{-1}{\sqrt[3]{2}}$ , $\frac{-1}{\sqrt[3]{2}}$ , $\frac{2}{\sqrt[3]{2}}$ , $\frac{-1}{\sqrt[3]{3}}$ , $\frac{-1}{\sqrt[3]{3}}$ , $\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$ и т.д.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 15 дек 2008, 16:47

Так... я походу забыл весь матан

И это верно! Я забыл что такое геометрическая прогрессия

Можно сделать и без комплексных чисел.

Хитро Надо обобщить задачу: сформулировать критерий того, что ряд из $$a_n$$

сходится, a ряд $$a_n^m$$

расходится

Draeden · Сообщение **Draeden** » 16 дек 2008, 14:08

Mathematica 7 выдаёт правильный ответ:

Код: Выбрать все

Sum[Exp[I n \[Pi]/3], {n, 1, \[Infinity]}, VerifyConvergence -> True]

Код: Выбрать все

Sum does not converge

Хотя eсли написать VerifyConvergence -> False то ряд сойдётся
Ha лекциях по матану, ещё когда мы проходили пределы, лектор сказал, что ряд из $$(-1)^n$$

расходится, тем не менеe в каком то обобщённом смысле он сходится.Этот обобщённый смысл заключается случайно не в том, что ряд заменяют формулой типа $\sum_{n=1}^{\infty}z^n=\frac z {1-z}$ после чего говорят, что при $z=e^{\frac{i\pi}3}$ сумма существует ?

yourdomain.com