Lebesgue measure
Lebesgue measure
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 12:29, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Lebesgue measure
Последний раз редактировалось Gaudeamus 30 ноя 2019, 12:29, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Lebesgue measure
Since
assume
and prove that
.
As
and
we can write, that
, but the last one has small measure:
.
That results in
.
Therefore, it's proved that
, but
i.e.
.
Q.E.D.
As
That results in
Therefore, it's proved that
Q.E.D.
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 12:29, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Lebesgue measure
Последний раз редактировалось Gaudeamus 30 ноя 2019, 12:29, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Lebesgue measure
You're right. You'd like a proof of lebesgue measurability without that ?
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 12:29, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Lebesgue measure
Draeden писал(а):Source of the post
You're right. You'd like a proof of lebesgue measurability without that ?
I think it's not correct. You look over only one
Последний раз редактировалось Gaudeamus 30 ноя 2019, 12:29, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Lebesgue measure
therefore
it's clearly, that
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 12:29, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Lebesgue measure
Theorem
![$$ A \in \mathbb{M}_F \Rightarrow \forall \varepsilon \exists G \in \mathbb{G}, A \subset G, \mu ( G \setminus A ) < \varepsilon $$ $$ A \in \mathbb{M}_F \Rightarrow \forall \varepsilon \exists G \in \mathbb{G}, A \subset G, \mu ( G \setminus A ) < \varepsilon $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20A%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BM%7D_F%20%5CRightarrow%20%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%5Cexists%20G%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BG%7D%2C%20A%20%5Csubset%20G%2C%20%5Cmu%20%28%20G%20%5Csetminus%20A%20%29%20%3C%20%5Cvarepsilon%20%24%24)
Original proof
![$$ A \in \mathbb{M}_F \Rightarrow \forall \varepsilon \exists E \in \mathbb{E}, \mu ( A \bigtriangleup E ) < \varepsilon $$ $$ A \in \mathbb{M}_F \Rightarrow \forall \varepsilon \exists E \in \mathbb{E}, \mu ( A \bigtriangleup E ) < \varepsilon $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20A%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BM%7D_F%20%5CRightarrow%20%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%5Cexists%20E%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BE%7D%2C%20%5Cmu%20%28%20A%20%5Cbigtriangleup%20E%20%29%20%3C%20%5Cvarepsilon%20%24%24)
![$$ \mu ( A \bigtriangleup E ) < \varepsilon \Rightarrow \exists \{ E_n \}_{n=1}^{\infty}, E_n \in \mathbb{G \cap E}, A \bigtriangleup E \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n, \sum_{n=1}^{\infty}m(E_n) < \varepsilon $$ $$ \mu ( A \bigtriangleup E ) < \varepsilon \Rightarrow \exists \{ E_n \}_{n=1}^{\infty}, E_n \in \mathbb{G \cap E}, A \bigtriangleup E \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n, \sum_{n=1}^{\infty}m(E_n) < \varepsilon $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cmu%20%28%20A%20%5Cbigtriangleup%20E%20%29%20%3C%20%5Cvarepsilon%20%5CRightarrow%20%5Cexists%20%5C%7B%20E_n%20%5C%7D_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%2C%20E_n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BG%20%5Ccap%20E%7D%2C%20A%20%5Cbigtriangleup%20E%20%5Csubset%20%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DE_n%2C%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dm%28E_n%29%20%3C%20%5Cvarepsilon%20%24%24)
![$$ \exists E' \in \mathbb{G \cap E}, E \subset E', m(E'\setminus E) < \varepsilon $$ $$ \exists E' \in \mathbb{G \cap E}, E \subset E', m(E'\setminus E) < \varepsilon $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cexists%20E%26%2339%3B%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BG%20%5Ccap%20E%7D%2C%20E%20%5Csubset%20E%26%2339%3B%2C%20m%28E%26%2339%3B%5Csetminus%20E%29%20%3C%20%5Cvarepsilon%20%24%24)
![$$ G = \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n \cup E' \in \mathbb{G} \Rightarrow A \subset G, \mu ( G \setminus A ) \le \mu ( E' \setminus E ) + \mu \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n < 2\varepsilon $$ $$ G = \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n \cup E' \in \mathbb{G} \Rightarrow A \subset G, \mu ( G \setminus A ) \le \mu ( E' \setminus E ) + \mu \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n < 2\varepsilon $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20G%20%3D%20%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DE_n%20%5Ccup%20E%26%2339%3B%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BG%7D%20%5CRightarrow%20A%20%5Csubset%20G%2C%20%5Cmu%20%28%20G%20%5Csetminus%20A%20%29%20%5Cle%20%5Cmu%20%28%20E%26%2339%3B%20%5Csetminus%20E%20%29%20%2B%20%5Cmu%20%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DE_n%20%3C%202%5Cvarepsilon%20%24%24)
My proof
![$$ A \in \mathbb{M}_F \Rightarrow \mu(A) < \infty \Rightarrow \forall \varepsilon \exists \{ E_n \}_{n=1}^{\infty}, E_n \in \mathbb{G \cap E}, A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n, \sum_{n=1}^{\infty}m(E_n) < \mu(A) + \varepsilon $$ $$ A \in \mathbb{M}_F \Rightarrow \mu(A) < \infty \Rightarrow \forall \varepsilon \exists \{ E_n \}_{n=1}^{\infty}, E_n \in \mathbb{G \cap E}, A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n, \sum_{n=1}^{\infty}m(E_n) < \mu(A) + \varepsilon $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20A%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BM%7D_F%20%5CRightarrow%20%5Cmu%28A%29%20%3C%20%5Cinfty%20%5CRightarrow%20%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%5Cexists%20%5C%7B%20E_n%20%5C%7D_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%2C%20E_n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BG%20%5Ccap%20E%7D%2C%20A%20%5Csubset%20%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DE_n%2C%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dm%28E_n%29%20%3C%20%5Cmu%28A%29%20%2B%20%5Cvarepsilon%20%24%24)
![$$ G = \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n \in \mathbb{G} \Rightarrow \mu(G \setminus A ) < \varepsilon $$ $$ G = \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n \in \mathbb{G} \Rightarrow \mu(G \setminus A ) < \varepsilon $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20G%20%3D%20%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DE_n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BG%7D%20%5CRightarrow%20%5Cmu%28G%20%5Csetminus%20A%20%29%20%20%3C%20%5Cvarepsilon%20%24%24)
where's mistake ?
Original proof
My proof
where's mistake ?
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 12:29, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Lebesgue measure
Integral
![$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin x}x dx = Im \left( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}x dx \right) = Im \left( \lim_{a \to 0} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}{x-a} dx \right) $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin x}x dx = Im \left( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}x dx \right) = Im \left( \lim_{a \to 0} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}{x-a} dx \right) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bsin%20x%7Dx%20dx%20%3D%20Im%20%5Cleft%28%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bix%7D%7Dx%20dx%20%5Cright%29%20%3D%20Im%20%5Cleft%28%20%5Clim_%7Ba%20%5Cto%200%7D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bix%7D%7D%7Bx-a%7D%20dx%20%5Cright%29%20%24%24)
then, if Im a > 0, the integral equals to
![$$ 2\pi i \cdot res_a \left( \frac{e^{ix}}{x-a} \right ) = 2\pi i \cdot e^{ia} \to^{a \to 0} 2\pi i $$ $$ 2\pi i \cdot res_a \left( \frac{e^{ix}}{x-a} \right ) = 2\pi i \cdot e^{ia} \to^{a \to 0} 2\pi i $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%202%5Cpi%20i%20%5Ccdot%20res_a%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bix%7D%7D%7Bx-a%7D%20%5Cright%20%29%20%3D%202%5Cpi%20i%20%5Ccdot%20e%5E%7Bia%7D%20%5Cto%5E%7Ba%20%5Cto%200%7D%202%5Cpi%20i%20%24%24)
![$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin x}x dx = 2 \pi $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin x}x dx = 2 \pi $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bsin%20x%7Dx%20dx%20%3D%202%20%5Cpi%20%24%24)
if Im a < 0, the integral is zero ( since
)
and, at last, if Im a changes its sign while approaching to 0, the limit doesn't exist.
where's mistake ?
then, if Im a > 0, the integral equals to
if Im a < 0, the integral is zero ( since
and, at last, if Im a changes its sign while approaching to 0, the limit doesn't exist.
where's mistake ?
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 12:29, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Lebesgue measure
Док-во вроде правильное.
Ha счет интеграла - поясни 2-e равенство.
Ha счет интеграла - поясни 2-e равенство.
Последний раз редактировалось Gaudeamus 30 ноя 2019, 12:29, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Математический анализ»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 3 гостей