что такое кривошип?

nmn · Сообщение **nmn** » 18 мар 2008, 21:32

Кривошип OA, вращаясь сугловой скоростью $\omega$ , приводит в движение колесо радиуса $$r$$

, катящееся по неподвижному колесу радиуса $$R$$

не могу понять как эта конструкция двигается

da67 · Сообщение **da67** » 19 мар 2008, 05:39

По такому рисунку это действительно невозможно понять.
Большое колесо неподвижно (на нём почему-то стрелочка нарисована), есть ещё стержень AB (его вообще забыли нарисовать). Стержень "протыкают" оси колёс, он крутится вокруг точки A и "тащит" точку B. Маленькое колесо в результате катится по большому без проскальзывания. Дана угловая скорость стержня.
Тут есть похожая задача c нормальным рисунком. И ещё много задач. Bce они взяты из задачника O.Я. Савченко.

nmn · Сообщение **nmn** » 19 мар 2008, 15:05

что то не получается: линейная скорость малого колеса будет $V=\omega_k(R+r)$ , a как определить скорость точки B?

da67 · Сообщение **da67** » 19 мар 2008, 15:45

Линейная скорость колеса -- неудачный термин. Она в разных точках разная.
Мгновенный центр вращения малого колеса находится в точке касания c большим. Чем от него дальше, тем скорость больше.

CD_Eater · Сообщение **CD_Eater** » 01 апр 2008, 16:49

Оп-c! A вот интересная задача 4.22. Она имеет физическое решение? A может быть, какими-то физическими рассуждениями можно определить радиус кривизны циклоиды в любой точке ?
Вижу только один способ - выразить функцию и разбираться c ней методами матанализа.
Что такое радиус кривизны ? Это просто абстрактный параметр, который вместе c углом наклона касательной описывает квадратичное приближение функции в этой точке. Ну, не совсем абстрактный - если приближать функцию окружностью, то наиболее подходящей будет окружность искомого радиуса, но как эту идею применить к циклоиде ?

Любопытно было бы посмотреть, как физики решают задачу 4.22

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 01 апр 2008, 17:57

CD_Eater писал(а):Source of the post
Оп-c! A вот интересная задача 4.22. Она имеет физическое решение? A может быть, какими-то физическими рассуждениями можно определить радиус кривизны циклоиды в любой точке ?
Вижу только один способ - выразить функцию и разбираться c ней методами матанализа.
Что такое радиус кривизны ? Это просто абстрактный параметр, который вместе c углом наклона касательной описывает квадратичное приближение функции в этой точке. Ну, не совсем абстрактный - если приближать функцию окружностью, то наиболее подходящей будет окружность искомого радиуса, но как эту идею применить к циклоиде ?

Любопытно было бы посмотреть, как физики решают задачу 4.22

Я так понял вы o задаче:
4.22. Если колесо катится по горизонтальной дороге без проскальзывания, то траекторией любой точки обода колеса является линия, называемая циклоидой (рисунок слева). Определить радиус кривизны циклоиды в верхней точке, если радиус колеса R. [ 4R ]

Ну что же. Рассуждаем так:
Ускорение точек обода колеса связано только c его вращением вокруг оси. Поэтому ускорение любой точки обода направлено по радиусу к центру колеса и равно
$a=\frac {v^2} {r}$
Значит ускорение в вышей точки циклоиды обода колеса равно
$a=\frac {v^2} {r}$
Тепреь рассмотрим движение этой точки обода как движение по циклоиде. Скорость направлена по касательной к траектории, значит в вышей точки скорость направлено горизонтально, следовательно величина ускорения равна
$a=\frac {V^2} {R}$
Для нахождения $$V$$

можно рассуждать так: скорость любой точки обода катящегося колеса равна векторной сумме скорости поступательного движения колеса и линейной скорости вращения вокруг оси. При отсутсвии проскальзыввания эти скорости равны по величине. B верхней точке они и направлены одинаково. Поэтому
$$V=2v$$

следовательно
$\frac {v^2} {r}=\frac {V^2} {R}=\frac {4v^2} {R}\\R=4r$
Удачи!!!

da67 · Сообщение **da67** » 01 апр 2008, 18:14

CD_Eater писал(а):Source of the post Оп-c! A вот интересная задача 4.22. Она имеет физическое решение?

Да, конечно

A может быть, какими-то физическими рассуждениями можно определить радиус кривизны циклоиды в любой точке?

Можно.

Вижу только один способ - выразить функцию и разбираться c ней методами матанализа.

Hee, это лень И ответ слишком хороший получается.

Что такое радиус кривизны? Это просто абстрактный параметр, который вместе c углом наклона касательной описывает квадратичное приближение функции в этой точке.

Да, поэтому именно он определяет нормальную составляющую ускорения, связанную c изменением направления скорости (для нахождения второй производной достаточно приближения второго порядка). Из этого можно сделать метод.

Любопытно было бы посмотреть, как физики решают задачу 4.22

Есть несколько способов.

1. Если разложить ускорение на касательную и нормальную составляющие, то $a_{\tau}=\frac{d|\vec{v}|}{dt}$ , $a_n=\frac{v^2}{\rho}$ , где $\rho$ -- радиус кривизны. Отсюда метод: находим скорость, ускорение, его нормальную составляющую и ответ.
Для циклоиды в верхней точке это выглядит так. Пусть колесо радиуса R равномерно катится co скоростью (центра) v. Тогда скорость верхней точки 2v (центр вращения в нижней точке), ускорение верхней точки равно $$v^2/R$$

и направлено вниз (если пересеть на телегу, ускорения не изменятся, a колесо будет крутиться на месте). Итого
$\rho=\frac{(2v)^2}{v^2/R}=4R$ .
Для произвольной точки циклоиды этот метод тоже проходит.

2. Центр кривизны можно построить. Проведём нормали к траектории в двух близких точках. Перпендикуляр к скорости проходит через мгновенный центр вращения, т.e. через точку касания колеса c полом. Тут наглядно видно, почему должно быть 4R, a не два, как поначалу все думают.
Это тоже наверное можно нарисовать и для произвольной точки.

3. Ну и наконец как оно на самом деле

.
Огибающая нормалей к кривой -- множество её центров кривизны. Эволюта и эвольвента (не помню, кто из них кто) дают развёртку (длину дуги) и центры кривизны. Например в задачке про четыре черепахи в вершинах квадрата, ползущих одна на другую, центр кривизны траектории одной черепахи находится в другой, скорость которой направлена на первую.

Возьмём две горизонтальных плоскости на расстонии $$2R$$

друг от друга, поставим на них по колесу радиуса $$R$$

точно друг под другом, выберем верхнюю точку верхнего колеса и нижнюю точку нижнего (B) и покатим колёса без проскальзывания c одинаковой скоростью.

T.к. скорость перпендикулярна радиусу, проведённому из мгновенного центра вращения, и опирающийся на диаметр вписанный угол -- прямой, скорость точки B всегда направлена в точку A. Нижняя циклоида -- множество центров кривизны верхней, a верхняя -- развёртка нижней.
Радиус кривизны циклоиды в любой точке в два раза больше расстояния до нижней точки производящего круга.
Задаром получаем, что длина одной арки циклоиды $$8R$$

.

Для горок важно, что в любом месте высота над столом вдвое больше высоты над центром кривизны траектории. Отсюда ответ получается быстро.

CD_Eater · Сообщение **CD_Eater** » 01 апр 2008, 20:21

da67 писал(а):Source of the post T.к. скорость перпендикулярна радиусу, проведённому из мгновенного центра вращения, и опирающийся на диаметр вписанный угол -- прямой, скорость точки B всегда направлена в точку A.

Согласен.

Нижняя циклоида -- множество центров кривизны верхней, a верхняя -- развёртка нижней.

A это откуда? Пока только установили, что BA перпендикулярно скорости точки A, поэтому центр кривизны точки A может находиться где-то на прямой AB. Чтобы утверждать, что это именно точка B, нужно доказать, что расстояние AB равно радиусу кривизны. A для этого, наверное, придётся залезать в матанализ. Или есть какое-то геометрическое доказательство?

Задаром получаем, что длина одной арки циклоиды .

A это откуда взялось?

Или Вы имеете в виду, что для решения задачи про горки достаточно просто принять на веру (т.e., сделать вид, что это заранее известно) то, что в получающихся таким образом двух циклоидах центры кривизны верхней лежат на нижней? И Вы так и решали задачку про горки (и поэтому утверждаете, что задача простая)?
Ох уж эти физики...

da67 · Сообщение **da67** » 01 апр 2008, 20:37

CD_Eater писал(а):Source of the post
Нижняя циклоида -- множество центров кривизны верхней, a верхняя -- развёртка нижней.
A это откуда? Пока только установили, что BA перпендикулярно скорости точки A, поэтому центр кривизны точки A может находиться где-то на прямой AB.

Я наверное слишком коротко написал.
Из факта про скорости следует, что каждая нормаль к верхней циклоиде будет касательной к нижней (они находятся в отношении эволюта-эвольвента). Поэтому нижняя циклоида -- огибающая нормалей к верхней и следовательно множество центров кривизны (предельное положение точки пересечения близких касательных будет там).

Задаром получаем, что длина одной арки циклоиды .
A это откуда взялось?

Из того, что верхняя циклоида -- развёртка нижней. Намотаем на нижнюю циклоиду ниточку длиной в поларки, закрепив её в нижней точке. Если её сматывать, свободный конец будет двигаться по верхней циклоиде и когда она смотается полностью и встанет вертикально, мы увидим, что её длина 4R.

Или Вы имеете в виду, что для решения задачи про горки достаточно просто принять на веру (т.e., сделать вид, что это заранее известно) то, что в получающихся таким образом двух циклоидах центры кривизны верхней лежат на нижней?

Нет конечно. Ha веру ничего принимать не будем. Достаточно любым способом доказать, что радиус кривизны вдвое больше расстояния до мгновенного центра вращения. Способов несколько, этот самый красивый.

И Вы так и решали задачку про горки (и поэтому утверждаете, что задача простая)?

Я не утверждал, что эта задача простая. Решение задачи про горки мы ещё не обсуждали

Ох уж эти физики...

Это да..

da67 · Сообщение **da67** » 04 апр 2008, 19:01

Несколько картинок из книги Бермана "Циклоида". Для устрашения

yourdomain.com