Разрывные функции

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение Draeden » 14 янв 2008, 18:15

я бы вопрос сформулировал даже так: можно ли разбить произвольный плотный континуум на два плотных континуума.
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение vladb314 » 14 янв 2008, 20:41

Вообще, для функции из сообщения #53 нужно счётное число непересекающихся всюду плотных континуумов, дающих в объединении множество действительных чисел. Мне кажется, подобрать такое разбиение легче, чем найти функцию, которая разбивает произвольный плотный континуум на два плотных континуума.

Множество действительных чисел имеет разбиение на два всюду плотных множетсва. Два очевидных примера: на рациональные и иррациональные, и на алгебраические и трансцендентные.
Кто-нибудь сможет предложить разбиение множества действительных чисел на три попарно непересекающихся всюду плотных подмножества?
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение Draeden » 14 янв 2008, 20:48

т.e. континуума ?
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение vladb314 » 14 янв 2008, 20:58

Draeden писал(а):Source of the post
т.e. континуума ?

He обязательно. Можно счётного.
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение vladb314 » 16 янв 2008, 23:04

Повторяю вопрос.
Требуется привести пример разбиения множества действительных чисел на 3 попарно непересекающихся всюду плотных подмножества.
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение Draeden » 17 янв 2008, 13:22

1. Разбить все числа на рациональные и иррациональные
2. Разбить все рациональные числа на классы на два класса: c чётными и нечётными знаменателями.
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение vladb314 » 17 янв 2008, 14:02

Draeden писал(а):Source of the post
1. Разбить все числа на рациональные и иррациональные
2. Разбить все рациональные числа на классы на два класса: c чётными и нечётными знаменателями.

Вы докажите, что оба множества в пункте 2 будут всюду плотными?
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение Draeden » 17 янв 2008, 14:15

Достаточно доказать, что дроби c чётными и нечётными знаменателями - плотные множества.
Возьмём дробь $$ \frac{p}{q} $$ где $$ q $$ - чётное число.
Можно найти сходящуюся последовательность нечётных дробей:

$$ \frac{a_n}{b_n} \to \frac{p}{q} $$

ведь достаточно, чтобы $$ b_n $$ было нечётным, a $$ a_n $$ можно сформировать.
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение vladb314 » 17 янв 2008, 20:31

Хорошо. У нас уже есть разбиение множества действительных чисел на 3 плотных подмножетсва.

Далее, можно ли разбить на 4?
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение Draeden » 17 янв 2008, 21:59

Конечно, то же метод: поделить все числа на рациональные и иррациональные, a рациональные разбить на $$ m $$ классов, причём несократимые дроби $$ \frac{p_1}{q_1} $$ и $$ \frac{p_2}{q_2} $$ относятся к одному классу, если

$$ q_1 \equiv q2 (mod(m)) $$

Это позволяет разбить действительные числа на конечное число плотных множеств, причём одно из них будет континуумом, a остальные - счётными множествами.

Однако, как разбить действительные числа на два плотных континуума так, чтобы на любом интервале количество точек от каждого множества составляло континуум, остаётся открытым.
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test


Вернуться в «Математический анализ»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей