Разрывные функции

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 26 дек 2007, 14:48

Нужно привести пример функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , определенной на всей числовой прямой и разрывной в каждой точке!

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 26 дек 2007, 20:43

Например
$f(x)=\{{0 \; x\in Q \\ 1 \; x \in R \setminus Q}$

Draeden · Сообщение **Draeden** » 26 дек 2007, 21:23

хммм... a кто сможет привести пример функции разрывной в каждой рациональной точке и непрерывной в каждой иррациональной ?

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 26 дек 2007, 22:14

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Например
$f(x)=\{{0 \; x\in Q \\ 1 \; x \in R \setminus Q}$

Почти что функция Дирихле! Только она, насколько я помню, из вашей функции получается как 1 - f(x).

Draeden писал(а):Source of the post
хммм... a кто сможет привести пример функции разрывной в каждой рациональной точке и непрерывной в каждой иррациональной ?

Ну это не сильно трудно... :whistle:

A теперь еще нужно привести функцию, которая определена на всей числовой оси и разрывная во всех точках, кроме одной, в которой непрерывна.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 26 дек 2007, 22:34

vladb314 писал(а):Source of the post
A теперь еще нужно привести функцию, которая определена на всей числовой оси и разрывная во всех точках, кроме одной, в которой непрерывна.

$f(x)=\{{x \; x\in Q \\ -x \; x \in R \setminus Q}$

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 26 дек 2007, 22:52

Draeden писал(а):Source of the post
хммм... a кто сможет привести пример функции разрывной в каждой рациональной точке и непрерывной в каждой иррациональной ?

$f(x)=\{{\frac{1}{n} \; x=\frac{m}{n}; NOD(m,n)=1 \\ 0 \; x \in R\setminus Q}$

Подобные примеры приведены в книге Б. Гелбаум "Контрпримеры в матанализе"

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 27 дек 2007, 20:02

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Подобные примеры приведены в книге Б. Гелбаум "Контрпримеры в матанализе"

OK. A можно привести пример функции, которая разрывна на всей числовой оси, кроме бесконечного счетного множества точек, в которых непрерывна?

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 28 дек 2007, 23:01

Ну не уже ли никто не может привести?..

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 29 дек 2007, 23:44

Ладно. A кто сможет привести функцию, которая на любом интервале является неограниченной?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 30 дек 2007, 00:06

если я не ошибаюсь, то это достаточно просто: пусть в каждой точке вида $\frac{m}{n} (gcd(m,n)=1)$ значение функции будет $$ n $$

, a в остальных точках ноль.

yourdomain.com