По криволинейным интегралам

~RouTe~666~ · Сообщение **~RouTe~666~** » 11 дек 2007, 16:17

Какую кривую будет вычерчивать ИДЕАЛЬНАЯ веревка подвешенная за два конца?

Скока ни билс0 даж не знаю как её лучше решить...

Natrix · Сообщение **Natrix** » 11 дек 2007, 21:39

~RouTe~666~ писал(а):Source of the post
Какую кривую будет вычерчивать ИДЕАЛЬНАЯ веревка подвешенная за два конца?

Скока ни билс0 даж не знаю как её лучше решить...

Подвесим нить так, чтобы концы были на одном уровне. Очевидно, что система симметрична. Выберем ось ординат по оси симметрии нити.
Теперь расмотрим бесконечно малый элемент нити $\breve{AB}$ от точки $$A(x;y)$$

до точки

и рассмотрим, что за силы на этот кусочек действуют.
B точке A на кусочек действует сила натяжения T, направленная по касательной к кривой. Разложим ee на составляющие параллельно осям $\vec{T}=\vec{T_x}+\vec{T_y}$ . B точке B, соответственно будет натяжение T+dT, ориентированное в другую сторону. При этом
$\vec{T}+\vec{dT}=\vec{T_x}+\vec{dT_x}+\vec{T_y}+\vec{dT_y}$
Помимо прочего на кусочек действуе сила тяжести, равная линейной плотности нити, помноженной на дифференциал дуги AB: $P=\lambda ds$
Теперь закон Ньютона:
$-T_x+T_x+dT_x=0\\dT_x=0$
To есть горизональная составляющая силы натяжения - постоянна.
Второе уравнение:
$-T_y+T_y+dT_y-\lambda ds=0\\dT_y=\lambda ds$
Очевидно, что тангенс угла между вектором силы натяжения в точкеА и линией - есть производная искомой функции по х:
$\tan \alpha=\frac{dy}{dx}=\frac{T_y}{T_x}$
C учетом того, что $$T_x=const$$

, продифференцируем последнее равенство по dx:
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{T_x}\frac{dT_y}{dx}$
Далее имеем:
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\lambda}{T_x}\frac{ ds}{dx}\\\frac{\lambda}{T_x}=\frac{1}{p}\\\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+(y')^2}$
B итоге получим:
$py''=\sqrt{1+(y')^2}$
Решение этого уравнения и есть уравнение той кривой которую ты ищешь.
C дифуром, надеюсь, справишься без меня.

~RouTe~666~ · Сообщение **~RouTe~666~** » 12 дек 2007, 00:40

Natrix - мое искреннее спасибо... собственно разыскание физ. величин это чуть ли не 90% задачи...
Дифура при параметре р=1 решается: у=cosh x... как её решить для любого р я пока не знаю

Ho работаем...

"Спасибо", даже искреннее в стопку не нальешь поэтому еще и плюсик...

Natrix · Сообщение **Natrix** » 12 дек 2007, 00:51

~RouTe~666~ писал(а):Source of the post
Natrix - мое искреннее спасибо... собственно разыскание физ. величин это чуть ли не 90% задачи...
Дифура при параметре р=1 решается: у=cosh x... как её решить для любого р я пока не знаю

Ho работаем...

"Спасибо", даже искреннее в стопку не нальешь поэтому еще и плюсик...

Я надеюсь тебе поможет:
$y'=\sinh z\\y''=(\cosh x)z'\\p(\cosh x)z'=\sqrt{1+\sinh^2 z}\\pz'=1\\\text{...etc}$

iii · Сообщение **iii** » 19 дек 2007, 04:18

Эта кривая называется цепной линией.

yourdomain.com