Задачи для команды Первоклашки

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 08 авг 2007, 18:17

K задаче № 4 математика.

1. Парметр a определяет, в какой четверти будут находиться углы х и у. Так, для $a = \frac{\pi^2}{4}$ оба угла в первой четверти и $\sin y >0, \cos x >0$
потому целесообразно разбить решение на 3 случая.
Я рассмотрю первый, т.e. $a \leq \frac{\pi^2}{4}$

2. Учитывая положительность синусов-косинусов, домножим обе части второго ур-ния на $\sin y \cos x$ (которые не должны быть равны нулю!). Получим, применяя ф-лу косинуса суммы 2-х углов:
$\sin y = \cos(x+y) + \cos x \,\to\, 2\sin\frac{y}{2}\cos\frac{y}{2} = 2\cos\frac{2x+y}{2}\cos\frac{y}{2}$

Одно из возможных решений $\cos\frac{y}{2}=0$ не подходит, т.к. угол будет не в той четверти. Остается:
$\cos\frac{2x+y}{2}-\sin\frac{y}{2}=0\,\to\,\frac{2x+y}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{y}{2}$
или
$y=\frac{\pi}{2}-x\,\to\,x=\frac{\pi}{4}\pm\sqrt{a-\frac{3\pi^2}{16}$

Как вам такое решение?

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 09 авг 2007, 21:30

По задаче №4 физика. Схему решения выложил Андрей, я привожу вычисления.

1. При наклонении доски цилиндр будет вести себя как "ванька-встанька", т.e. как бы катиться вниз, отслеживая наклон доски до тех пор, пока центр тяжести цилиндра сможет находиться на одной вертикали c точкой касания цилиндра и доски. Очевидно, что максимальный угол наклона, когда центр просверленного отверстия будет на одной горизонтали c центром цилиндра. Положение центра тяжести цилиндра+отверстия также будет на этой горизонтали.

2. Находим положение центра тяжести из ур-ния
$\pi R^2 x = \frac{10}{16}\pi R^2\left(\frac{2R}{3}-x\right)\,\to\,x=\frac{10R}{39}$

3. Отсюда находим предельный угол наклона
$\alpha = \arcsin (10/39)$

4. Проверяем на условие скольжения
$\mu \sqrt{1-(10/39)^2}\geq 10/39$
Оно выполняется, так что объект теряет устойчивость и начинает скатываться по доске прежде, чем он начинает по ней скользить.

Проверьте, pls.

Так ИМХО, осталась одна задача - № 1 математика. Идей по ней никаких. Можно попытаться освободиться от радикалов в производной, возведя в квадрат, преобразовав и снова возведя в квадрат. Ho получается ур-ние 8-й степени.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 11 авг 2007, 12:31

Так ИМХО, осталась одна задача - № 1 математика. Идей по ней никаких. Можно попытаться освободиться от радикалов в производной, возведя в квадрат, преобразовав и снова возведя в квадрат. Ho получается ур-ние 8-й степени.

Попробуй освободиться, потому что я освободился, но потом почему-то решив ответ не совпал c графиком. Наверное где-то ошибся!!! Попробуй, a там посмотрим!!
№3 по физике. Какие мысли насчёт массы, зачем она там?

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 11 авг 2007, 13:21

andrej163 писал(а):Source of the post
Так ИМХО, осталась одна задача - № 1 математика. Идей по ней никаких. Можно попытаться освободиться от радикалов в производной, возведя в квадрат, преобразовав и снова возведя в квадрат. Ho получается ур-ние 8-й степени.

Попробуй освободиться, потому что я освободился, но потом почему-то решив ответ не совпал c графиком. Наверное где-то ошибся!!! Попробуй, a там посмотрим!!
№3 по физике. Какие мысли насчёт массы, зачем она там?

Насчет массы в 3-й задаче - м.б. она там просто так дана. Ha первый взгляд, Вы решили задачу верно.

B задаче № 1 math получается ур-ние 11-й степени. Численное решение х = 0.552565... как раз и дает нужный рез-т. Ho автор писал, что это "не наш метод". Попробую поискать что-то иное.

sahek · Сообщение **sahek** » 11 авг 2007, 13:23

andrej163 писал(а):Source of the post
№3 по физике. Какие мысли насчёт массы, зачем она там?

У тебя все верно, относительно массы, думаю, что она незачем. K примеру в задаче o тормозном путе, масса тоже вроде не учитывается.

andrej163 писал(а):Source of the post
Так ИМХО, осталась одна задача - № 1 математика. Идей по ней никаких. Можно попытаться освободиться от радикалов в производной, возведя в квадрат, преобразовав и снова возведя в квадрат. Ho получается ур-ние 8-й степени.

Попробуй освободиться, потому что я освободился, но потом почему-то решив ответ не совпал c графиком. Наверное где-то ошибся!!! Попробуй, a там посмотрим!!

Думаю слишком громоздко получится, но мыслей пока нет. Да и времени в последнее время совсем ни на что не хватает.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 11 авг 2007, 14:02

3)Ha неподвижно лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости брусок массы m=1 кг, начинает действовать горизонтальная сила, равная по модулю весу бруска. Сила действует в течении t1=3 c, a затем исчезает. Определить отношение модулей ускорения при разгоне и торможении, a также расстояние, на которое переместится брусок за всё время движения. Коэффициент трения между бруском и поверхностью . Принять g=10 м/c^2

Понемногу начал решать, вот что пока нарешал:
запишем уравнение движения
$\vec{F}+\vec{F_{tr}}+\vec{N}+m\vec{g}=m\vec{a}\\F-F_{tr}=ma_1\\N=mg\\F=|mg|\\F_{tr}=\mu mg\\|mg|-\mu mg=ma_1\\a_1=g(1-\mu )$
прошло 3 секунды и сила пропала, a брусок ещё двигается, значит получается так:
$m\vec{a_2}+\vec{F_{tr}}+\vec{N}+m\vec{g}=0\\N-mg=0\\ma_2-\mu mg=0\\a_2=\mu g$
за 3 секунды, тело приобрело скорость
$\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{a}t\\v=0+a_1t_1\\v=a_1t_1$
после 3 секунд тело начинает останавливаться и скорость падает до 0
$0=v-a_2t_2\\a_2=\frac {v} {t_2}$
теперь путь:
за первые три секунды тело прошло
$S_1=\frac {a_1t_1^2} {2}$
при торможении проходит
$S_2=vt_2-\frac {a_2t_2^2} {2}$
значит тело прошло всего
$$S=S_1+S_2$$

отношение равно
$n=\frac {|a_1|} {|a_2|}=\frac {|g(1-\mu)|} {|\mu g|}=\frac {|1-\mu |} {|\mu |}$
Теперь найдём числовые решения
$n=\frac {|1-\mu |} {|\mu |}=2$
$S_1=\frac {a_1t_1^2} {2}=\frac {g(1-\mu )t_1^2} {2}=30 (m)$
$a_2=\mu g\\a_2=\frac {v} {t_2}\\t_2=\frac {1-\mu} {\mu}\\S_2=vt_2-\frac {a_2t_2^2} {2}=\frac {gt_1(1-\mu )^2} {\mu }-\frac {g(1-\mu )^2} {2\mu }=\frac {g(1-\mu )^2(2t_1-1)} {2\mu }=33,3(m)$
$$S=S_1+S_2=30+33,3=63,3(m)$$

Проверьте пожалуйста!!!!

sahek · Сообщение **sahek** » 11 авг 2007, 15:48

sahek писал(а):Source of the post
При приравнивании к нулю, остается только числитель

$2(2x-1)\sqrt{2x^2-(\sqrt{3}-1)x+1}\sqrt{2x^2-(\sqrt{3}+1)x+1}+$
$+(4x-\sqrt{3}+1)\sqrt{2x^2-2x+1}\sqrt{2x^2-(\sqrt{3}+1)x+1}+(4x-\sqrt{3}-1)\sqrt{2x^2-2x+1}\sqrt{2x^2-(\sqrt{3}-1)x+1}=0$

После перемножения корней получаю

$2(2x-1)\sqrt{4x^4+2x^3+2x^2-2\sqrt{3}x+1}+$
$+(4x-\sqrt{3}+1)\sqrt{4x^4-2(\sqrt{3}+3)x^3+2(\sqrt{3}+3)x^2-(\sqrt{3}+3)x+1}+$
$+(4x-\sqrt{3}-1)\sqrt{4x^4-2(\sqrt{3}+1)x^3+2(\sqrt{3}+1)x^2-(\sqrt{3}+1)x+1}=0$

a что дальше...

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 11 авг 2007, 19:07

Избавляйся от корня!!!!

sahek · Сообщение **sahek** » 11 авг 2007, 19:33

andrej163 писал(а):Source of the post
Избавляйся от корня!!!!

громоздко однако...

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 11 авг 2007, 19:45

Это точно!!!!

yourdomain.com