По задаче №4 физика. Схему решения выложил Андрей, я привожу вычисления.
1. При наклонении доски цилиндр будет вести себя как "ванька-встанька", т.e. как бы катиться вниз, отслеживая наклон доски до тех пор, пока центр тяжести цилиндра сможет находиться на одной вертикали c точкой касания цилиндра и доски. Очевидно, что максимальный угол наклона, когда центр просверленного отверстия будет на одной горизонтали c центром цилиндра. Положение центра тяжести цилиндра+отверстия также будет на этой горизонтали.
2. Находим положение центра тяжести из ур-ния
![$$\pi R^2 x = \frac{10}{16}\pi R^2\left(\frac{2R}{3}-x\right)\,\to\,x=\frac{10R}{39}$$ $$\pi R^2 x = \frac{10}{16}\pi R^2\left(\frac{2R}{3}-x\right)\,\to\,x=\frac{10R}{39}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cpi%20R%5E2%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B10%7D%7B16%7D%5Cpi%20R%5E2%5Cleft%28%5Cfrac%7B2R%7D%7B3%7D-x%5Cright%29%5C%2C%5Cto%5C%2Cx%3D%5Cfrac%7B10R%7D%7B39%7D%24%24)
3. Отсюда находим предельный угол наклона
![$$\alpha = \arcsin (10/39)$$ $$\alpha = \arcsin (10/39)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Calpha%20%3D%20%5Carcsin%20%2810%2F39%29%24%24)
4. Проверяем на условие скольжения
![$$\mu \sqrt{1-(10/39)^2}\geq 10/39$$ $$\mu \sqrt{1-(10/39)^2}\geq 10/39$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cmu%20%5Csqrt%7B1-%2810%2F39%29%5E2%7D%5Cgeq%2010%2F39%24%24)
Оно выполняется, так что объект теряет устойчивость и начинает скатываться по доске прежде, чем он начинает по ней скользить.
Проверьте, pls.
Так ИМХО, осталась одна задача - № 1 математика. Идей по ней никаких. Можно попытаться освободиться от радикалов в производной, возведя в квадрат, преобразовав и снова возведя в квадрат. Ho получается ур-ние 8-й степени.