Делимость многочленов
Делимость многочленов
Найти все целые значения
при которых
делится на ![$$x^2 - x+a$$ $$x^2 - x+a$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5E2%20-%20x%2Ba%24%24)
Последний раз редактировалось bot 30 ноя 2019, 14:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Делимость многочленов
Сразу видно, что
Можно проверить все 24 варианта, a можно сделать проще. Перейдем к многочленам по модулю 3. Получим, что
которые и нужно проверить.
Можно перейти и к многочленам по модулю 5. Тогда получим
Отсюда следует, что если
Последний раз редактировалось AV_77 30 ноя 2019, 14:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Делимость многочленов
Пусть многочлен
делится на
, где
- целое число, тогда
![$$x^{13}+x+90=(x^2-x+a)\cdot f(x),$$ $$x^{13}+x+90=(x^2-x+a)\cdot f(x),$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5E%7B13%7D%2Bx%2B90%3D%28x%5E2-x%2Ba%29%5Ccdot%20f%28x%29%2C%24%24)
где многочлен
имеет целые коэффициенты (так как старший коэффициент многочлена
равен 1).
Ввиду равенств
получаем, что
.
Так как
, то
и
. Значит,
не равно ни
, ни
и не
.
Так как верно равенство
, то получаем, что ответом задачи будет число 2.
где многочлен
Ввиду равенств
Так как
Так как верно равенство
Последний раз редактировалось alexpro 30 ноя 2019, 14:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Делимость многочленов
Угу, я дважды ошибался пока делил. Однако проверить a=2 можно ещё парой способов.
1) Полагаем
и последовательно вычислив
убеждаемся, что
.
По схеме Горнера здесь дольше будет.
2) Пусть
. Тогда
![$$x^2=x-2 \Rightarrow x^4=x^2-4x+4 = x-2-4x+4 = -3x+2 \Rightarrow x^8=...=-3x-14 \Rightarrow $$ $$x^2=x-2 \Rightarrow x^4=x^2-4x+4 = x-2-4x+4 = -3x+2 \Rightarrow x^8=...=-3x-14 \Rightarrow $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5E2%3Dx-2%20%5CRightarrow%20x%5E4%3Dx%5E2-4x%2B4%20%3D%20x-2-4x%2B4%20%3D%20-3x%2B2%20%5CRightarrow%20x%5E8%3D...%3D-3x-14%20%5CRightarrow%20%24%24)
![$$x^{12}=x^4x^8=(3x-2)(3x+14)=...=45x-46 \Rightarrow x^{13}+x+90=x(45x-45)+90=45(x^2-x+2)=0$$ $$x^{12}=x^4x^8=(3x-2)(3x+14)=...=45x-46 \Rightarrow x^{13}+x+90=x(45x-45)+90=45(x^2-x+2)=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5E%7B12%7D%3Dx%5E4x%5E8%3D%283x-2%29%283x%2B14%29%3D...%3D45x-46%20%5CRightarrow%20x%5E%7B13%7D%2Bx%2B90%3Dx%2845x-45%29%2B90%3D45%28x%5E2-x%2B2%29%3D0%24%24)
1) Полагаем
По схеме Горнера здесь дольше будет.
2) Пусть
Последний раз редактировалось bot 30 ноя 2019, 14:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Олимпиадные задачи»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 0 гостей