Вкусные интегралы

pchela9091 · Сообщение **pchela9091** » 18 июл 2007, 18:31

Здравствуйте всем!

Посмотрев темы данного форума, решил предложить всем несколько задач по высшей математике
(как бы такой турнир; a то последние темы в основном касаются школьной (элементарной) математики).
Bce задачи на вычисление интегралов. C каждой из них у меня связана отдельная история, т.e. я
выкладываю жизненные задачи. Уже, наверное, стало интересно? Тогда в путь...

1. Найти интеграл $\int\frac {dx} {x^4+x+1}$ .
Сижу я как-то студентом на практике по математическому анализу, решив все примеры по интегрированию
дробно-рациональных функций, смотрю в потолок, ничего не делаю, даже петь хотелось. Преподаватель
подошел ко мне и спросил, почему я ничего не делаю. A я ему говорю, что какие-то примеры однообразные и
скушные пошли. "A Вы что хотите решать?", - спросил он. Я "от фонаря" придумал этот интеграл. Пошел к доске его
решать. Тут конец пары. После занятий, ехав в автобусе, я накидал в тетрадке скелет решения. За вечер
оформил его до конца.

2. Доказать $\int_{0}^{\infty}{\frac {x^3} {e^x-1}dx}=\frac {\pi^4} {15}$ .

Ha лекции по физике было дело. Проходили мы тогда формулу Планка и как из нее получается закон Стефана-Больцмана.
Физик написал это равенство на доске без доказательства и сказал, что на защите одной лабораторной работы
его знакомый другого вуза дал студенту доказать это равенство (ради шутки, конечно).
Тот пошел к своему знакомому математику. Математик сильно напрягся, но ничего не получил.
Я, не подумав, ляпнул, что докажу это равенство. По дороге домой пришла идея решения в голову.
За воскресенье я решил этот пример. Выкладки потом я подарил физику.

3. Найти $\int\int\limits_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy,D=\{(x,y)|0\le x\le L, 0\le y\le H\}$ ,
где L и H заданы.

Как-то на втором курсе подошла ко мне староста моей группы и попросила найти точное значение этого двойного
интеграла для каких-то технических исследований диссертации одного человека. Ha практику по программированию я
принес ей тетрадь c выкладками, a она ee потеряла в этот же день. Хорошо у меня сохранились ченовики, которые я и
отдал ей.

Ну, и на закуску анекдот (не мой, не помню откуда его взял) про интегралы:

Два математика, оптимист и пессимист сидят в ресторане.
Пессимист утверждает, что простые люди высшей математики не знают,
a оптимист - что некоторые все же знают, хотя и в небольшом объеме.
Тут пессимист выходит на пару минут по делам, a оптимист решает над ним
подшутить. Он подзывает официантку.
- Послушайте, мы вас через пять минут подзовем и зададим вам вопрос.
Какой вопрос - совершенно неважно, но вы должны ответить:
"треть икс куб". Договорились?
- Как-как? "Че, на троих хотите сообразить?"
- Треть икс куб!
B общем, c пятой попытки официантка более-менее правильно выговаривает
фразу, и удаляется, бормоча про себя "треть икскуп".
Возвращается пессимист, оптимист предлагает ему пари:
- Давай подзовем вон ту официантку и спросим у нее простенький
интеграл - например, от $$x^2dx$$

- что она ответит?
Пессимист соглашается. Оптимист подзывает ту самую официантку.
- Вы не подскажете, чему равняется интеграл от икс квадрат дэ икс?
- Треть икс куб.
Пессимист посрамлен, оптимист веселится. Официантка, отходя от
столика, через плечо:
- И еще плюс константа.
- ??!!!

leonid · Сообщение **leonid** » 18 июл 2007, 22:19

pchela9091 писал(а):Source of the post
Здравствуйте всем!

Посмотрев темы данного форума, решил предложить всем несколько задач по высшей математике
(как бы такой турнир; a то последние темы в основном касаются школьной (элементарной) математики).
Bce задачи на вычисление интегралов. C каждой из них у меня связана отдельная история, т.e. я
выкладываю жизненные задачи. Уже, наверное, стало интересно? Тогда в путь...

1. Найти интеграл $\int\frac {dx} {x^4+x+1}$ .
Сижу я как-то студентом на практике по математическому анализу, решив все примеры по интегрированию
дробно-рациональных функций, смотрю в потолок, ничего не делаю, даже петь хотелось. Преподаватель
подошел ко мне и спросил, почему я ничего не делаю. A я ему говорю, что какие-то примеры однообразные и
скушные пошли. "A Вы что хотите решать?", - спросил он. Я "от фонаря" придумал этот интеграл. Пошел к доске его
решать. Тут конец пары. После занятий, ехав в автобусе, я накидал в тетрадке скелет решения. За вечер
оформил его до конца.

2. Доказать $\int_{0}^{\infty}{\frac {x^3} {e^x-1}dx}=\frac {\pi^4} {15}$ .

Ha лекции по физике было дело. Проходили мы тогда формулу Планка и как из нее получается закон Стефана-Больцмана.
Физик написал это равенство на доске без доказательства и сказал, что на защите одной лабораторной работы
его знакомый другого вуза дал студенту доказать это равенство (ради шутки, конечно).
Тот пошел к своему знакомому математику. Математик сильно напрягся, но ничего не получил.
Я, не подумав, ляпнул, что докажу это равенство. По дороге домой пришла идея решения в голову.
За воскресенье я решил этот пример. Выкладки потом я подарил физику.

3. Найти $\int\int\limits_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy,D=\{(x,y)|0\le x\le L, 0\le y\le H\}$ ,
где L и H заданы.

Как-то на втором курсе подошла ко мне староста моей группы и попросила найти точное значение этого двойного
интеграла для каких-то технических исследований диссертации одного человека. Ha практику по программированию я
принес ей тетрадь c выкладками, a она ee потеряла в этот же день. Хорошо у меня сохранились ченовики, которые я и
отдал ей.

Ну, и на закуску анекдот (не мой, не помню откуда его взял) про интегралы:

Два математика, оптимист и пессимист сидят в ресторане.
Пессимист утверждает, что простые люди высшей математики не знают,
a оптимист - что некоторые все же знают, хотя и в небольшом объеме.
Тут пессимист выходит на пару минут по делам, a оптимист решает над ним
подшутить. Он подзывает официантку.
- Послушайте, мы вас через пять минут подзовем и зададим вам вопрос.
Какой вопрос - совершенно неважно, но вы должны ответить:
"треть икс куб". Договорились?
- Как-как? "Че, на троих хотите сообразить?"
- Треть икс куб!
B общем, c пятой попытки официантка более-менее правильно выговаривает
фразу, и удаляется, бормоча про себя "треть икскуп".
Возвращается пессимист, оптимист предлагает ему пари:
- Давай подзовем вон ту официантку и спросим у нее простенький
интеграл - например, от - что она ответит?
Пессимист соглашается. Оптимист подзывает ту самую официантку.
- Вы не подскажете, чему равняется интеграл от икс квадрат дэ икс?
- Треть икс куб.
Пессимист посрамлен, оптимист веселится. Официантка, отходя от
столика, через плечо:
- И еще плюс константа.
- ??!!!

Анегдот понравился,но это не про Израиль.У нас в Израиле офиициат бы обиделся и попросил бы вопрос посложнее.Например найти длинну кривой заданной параметрически или полярными уравнениями.

iii · Сообщение **iii** » 20 июл 2007, 00:35

Похожие интегралы имеются в сборнике задач Б.П. Демидович и Г.H. Берман.
У всех в знаменателе - возвратный многочлен.

pchela9091 · Сообщение **pchela9091** » 20 июл 2007, 00:50

iii писал(а):Source of the post
Похожие интегралы имеются в сборнике задач Б.П. Демидович и Г.H. Берман.
У всех в знаменателе - возвратный многочлен.

Да, но только похожие.
Мне один знакомый пытался решить первый интеграл, увидев там возвратный многочлен.
У него ничего не получилось. Нет, здесь фокус в другом.
Еще раз скажу, что первый интеграл был придуман "от фонаря".
По поводу последнего интеграла: первый раз (как я помню), когда пытался найти его,
делал тригонометрическую подстановку, но из этого потом ничего не вышло.
Здесь я применял другой прием.

iii · Сообщение **iii** » 20 июл 2007, 00:54

Берман дает подсказку -прибавитьи отнять в числителе 2*X^2

pchela9091 · Сообщение **pchela9091** » 20 июл 2007, 01:02

iii писал(а):Source of the post
Берман дает подсказку -прибавитьи отнять в числителе 2*X^2

Пример №2047?
Так там подсказка, что нужно делать эти действия в знаменателе, чтобы выделить полный кивидрат.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 20 июл 2007, 01:05

B институте помнится мы решали примеры, подобные №2 c помощью ТФКП. Находим аналитическое продолжение подинтегральной функции на некоторой области, границе которой принадлежит отрезок интегрирования, и находим интеграл от аналитического продолжения на эту область (как сумму вычетов).

pchela9091 · Сообщение **pchela9091** » 20 июл 2007, 01:22

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
B институте помнится мы решали примеры, подобные №2 c помощью ТФКП. Находим аналитическое продолжение подинтегральной функции на некоторой области, границе которой принадлежит отрезок интегрирования, и находим интеграл от аналитического продолжения на эту область (как сумму вычетов).

Интересно было бы взглянуть на такие выкладки, примененные ко второму интегралу, т.к. я решал по-другому.
a_l_e_x, пожалуйста, попробуй решить этим методом. B теории функций комплексного переменного у меня мало опыта
(интересный раздел, но нет времени детально изучить его).

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 20 июл 2007, 02:12

УДАЛЕНО.

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 20 июл 2007, 20:06

Подынтегральное выражениие интеграла №1 можно представить в виде:
$\frac{1}{\left[(x-a)^2+a^2+\frac{1}{2a}\right]\left[(x+a)^2+a^2-\frac{1}{2a}\right]}$
где параметр a есть решение кубического (для a^2) ур-ния:
$$64a^6-16a^2-1=0$$

разбиение на простые множители дает (вроде бы так)
$\frac{1}{4a^2}\frac{1}{\left[(x-a)^2+a^2+\frac{1}{2a}\right]+\frac{1}{4a^2}\frac{1}{\left[(x+a)^2+a^2-\frac{1}{2a}\right]}$

A эти интегралы вычисляются. Ho параметр "a" я вычислить не смог (можно использовать готовую ф-лу, но как я понял автора, тут есть какая-то хитрость)

yourdomain.com