Начинаю потихоньку переносить окончательные решения задач.
1Пусть
![$$f(x_1)=\pm1$$ $$f(x_1)=\pm1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x_1%29%3D%5Cpm1%24%24)
,
![$$f(x_2)=\pm1$$ $$f(x_2)=\pm1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x_2%29%3D%5Cpm1%24%24)
и
![$$x_2>x_1$$ $$x_2>x_1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x_2%3Ex_1%24%24)
.
При этом можно считать, что степень многочлена
![$$f(x)$$ $$f(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%24%24)
ненулевая, так как для константного многочлена утверждение очевидно. Тогда
![$$f(x)=(x-x_1)\cdot(a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0)\pm1,$$ $$f(x)=(x-x_1)\cdot(a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0)\pm1,$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3D%28x-x_1%29%5Ccdot%28a_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Ba_0%29%5Cpm1%2C%24%24)
![$$f(x)=(x-x_2)\cdot(b_{n-1}x^{n-1}+...+b_0)\pm1$$ $$f(x)=(x-x_2)\cdot(b_{n-1}x^{n-1}+...+b_0)\pm1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3D%28x-x_2%29%5Ccdot%28b_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Bb_0%29%5Cpm1%24%24)
.
Пусть
![$$p/q$$ $$p/q$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p%2Fq%24%24)
, где
НОД![$$(p, q)=1, q>0$$ $$(p, q)=1, q>0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28p%2C%20q%29%3D1%2C%20q%3E0%24%24)
- корень многочлена
![$$f(x)$$ $$f(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%24%24)
. Тогда
![$$\{\pm1 =(p/q-x_1)(a_{n-1}(p/q)^{n-1}+...+a_0), \\ \pm1 =(p/q-x_2)(b_{n-1}(p/q)^{n-1}+...+b_0).$$ $$\{\pm1 =(p/q-x_1)(a_{n-1}(p/q)^{n-1}+...+a_0), \\ \pm1 =(p/q-x_2)(b_{n-1}(p/q)^{n-1}+...+b_0).$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%7B%5Cpm1%20%3D%28p%2Fq-x_1%29%28a_%7Bn-1%7D%28p%2Fq%29%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Ba_0%29%2C%20%5C%5C%20%5Cpm1%20%3D%28p%2Fq-x_2%29%28b_%7Bn-1%7D%28p%2Fq%29%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Bb_0%29.%24%24)
Значит,
![$$\{\pm q^n =(p-x_1q)(a_{n-1}p^{n-1}+...+a_0q^{n-1}),\\ \pm q^n =(p-x_2q)(b_{n-1}p^{n-1}+...+b_0q^{n-1}).$$ $$\{\pm q^n =(p-x_1q)(a_{n-1}p^{n-1}+...+a_0q^{n-1}),\\ \pm q^n =(p-x_2q)(b_{n-1}p^{n-1}+...+b_0q^{n-1}).$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%7B%5Cpm%20q%5En%20%3D%28p-x_1q%29%28a_%7Bn-1%7Dp%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Ba_0q%5E%7Bn-1%7D%29%2C%5C%5C%20%5Cpm%20q%5En%20%3D%28p-x_2q%29%28b_%7Bn-1%7Dp%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Bb_0q%5E%7Bn-1%7D%29.%24%24)
Так как числа
![$$p$$ $$p$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p%24%24)
и
![$$q$$ $$q$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24q%24%24)
взаимно просты, то
НОД![$$(p-x_1q, q)$$ $$(p-x_1q, q)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28p-x_1q%2C%20q%29%24%24)
=
НОД![$$(p-x_2q, q)=1$$ $$(p-x_2q, q)=1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28p-x_2q%2C%20q%29%3D1%24%24)
. A значит,
![$$p-x_1q=\pm1$$ $$p-x_1q=\pm1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p-x_1q%3D%5Cpm1%24%24)
и
![$$p-x_2q=\pm1$$ $$p-x_2q=\pm1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p-x_2q%3D%5Cpm1%24%24)
. B силу того, что
![$$p-x_1q>p-x_2q$$ $$p-x_1q>p-x_2q$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p-x_1q%3Ep-x_2q%24%24)
, то
![$$p-x_1q=1, p-x_2q=-1$$ $$p-x_1q=1, p-x_2q=-1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p-x_1q%3D1%2C%20p-x_2q%3D-1%24%24)
(*).
Вычитая из первого уравнения второе, получаем
![$$(x_2-x_1)q=2$$ $$(x_2-x_1)q=2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28x_2-x_1%29q%3D2%24%24)
. При
![$$x_2-x_1>2$$ $$x_2-x_1>2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x_2-x_1%3E2%24%24)
мы придем к противоречию. Значит, если
![$$x_2-x_1>2$$ $$x_2-x_1>2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x_2-x_1%3E2%24%24)
корней нет.
Если
![$$x_2-x_1=1,2$$ $$x_2-x_1=1,2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x_2-x_1%3D1%2C2%24%24)
, то складывая оба уравнения из (*), получаем
![$$2p-(x_1+x_2)q=0$$ $$2p-(x_1+x_2)q=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%242p-%28x_1%2Bx_2%29q%3D0%24%24)
, т.e.
![$$p/q=(x_1+x_2)/2$$ $$p/q=(x_1+x_2)/2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p%2Fq%3D%28x_1%2Bx_2%29%2F2%24%24)
.
2Запишем уравнение в виде
![$$(a+ib)^n=(a-ib)^n$$ $$(a+ib)^n=(a-ib)^n$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28a%2Bib%29%5En%3D%28a-ib%29%5En%24%24)
или
![$${(a^2+b^2)}^{n/2}(cos(n\alpha)+isin(n\alpha))={(a^2+b^2)}^{n/2}(cos(n\alpha)-isin(n\alpha))$$ $${(a^2+b^2)}^{n/2}(cos(n\alpha)+isin(n\alpha))={(a^2+b^2)}^{n/2}(cos(n\alpha)-isin(n\alpha))$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%7B%28a%5E2%2Bb%5E2%29%7D%5E%7Bn%2F2%7D%28cos%28n%5Calpha%29%2Bisin%28n%5Calpha%29%29%3D%7B%28a%5E2%2Bb%5E2%29%7D%5E%7Bn%2F2%7D%28cos%28n%5Calpha%29-isin%28n%5Calpha%29%29%24%24)
, где
![$$\alpha=arccos\frac {a} {\sqrt{a^2+b^2}}$$ $$\alpha=arccos\frac {a} {\sqrt{a^2+b^2}}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Calpha%3Darccos%5Cfrac%20%7Ba%7D%20%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7D%24%24)
После сокращений получаем
![$$sin(n\alpha)=0$$ $$sin(n\alpha)=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24sin%28n%5Calpha%29%3D0%24%24)
или
![$$\frac {a} {\sqrt{a^2+b^2}}=cos(\frac {\pi k} {n})$$ $$\frac {a} {\sqrt{a^2+b^2}}=cos(\frac {\pi k} {n})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7Ba%7D%20%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7D%3Dcos%28%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20k%7D%20%7Bn%7D%29%24%24)
, тогда
![$$cos(\frac {2\pi k} {n})=\frac {a^2-b^2} {a^2+b^2}$$ $$cos(\frac {2\pi k} {n})=\frac {a^2-b^2} {a^2+b^2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24cos%28%5Cfrac%20%7B2%5Cpi%20k%7D%20%7Bn%7D%29%3D%5Cfrac%20%7Ba%5E2-b%5E2%7D%20%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%24%24)
Докажем, что
![$$2\cos(\frac{2\pi k}{n})$$ $$2\cos(\frac{2\pi k}{n})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%242%5Ccos%28%5Cfrac%7B2%5Cpi%20k%7D%7Bn%7D%29%24%24)
- целое число. Действительно, рассмотрим многочлены
![$$f_n(x)$$ $$f_n(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f_n%28x%29%24%24)
, удовлетворяющие условию
![$$f_n(2\cos\alpha)=2\cos(n\alpha)$$ $$f_n(2\cos\alpha)=2\cos(n\alpha)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f_n%282%5Ccos%5Calpha%29%3D2%5Ccos%28n%5Calpha%29%24%24)
. Их можно построить рекуррентно:
![$$f_1(x)=x, f_2(x)=x^2-2$$ $$f_1(x)=x, f_2(x)=x^2-2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f_1%28x%29%3Dx%2C%20f_2%28x%29%3Dx%5E2-2%24%24)
ввиду равенства
![$$\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1$$ $$\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Ccos%282%5Calpha%29%3D2%5Ccos%5E2%5Calpha-1%24%24)
, a равенство
![$$f_{n+1}=x\cdot f_n(x)-f_{n-1}(x)$$ $$f_{n+1}=x\cdot f_n(x)-f_{n-1}(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f_%7Bn%2B1%7D%3Dx%5Ccdot%20f_n%28x%29-f_%7Bn-1%7D%28x%29%24%24)
следует из
![$$2\cos[(n+1)\alpha]+2\cos[(n-1)\alpha]=2\cos\alpha\cdot2\cos(n\alpha)$$ $$2\cos[(n+1)\alpha]+2\cos[(n-1)\alpha]=2\cos\alpha\cdot2\cos(n\alpha)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%242%5Ccos%5B%28n%2B1%29%5Calpha%5D%2B2%5Ccos%5B%28n-1%29%5Calpha%5D%3D2%5Ccos%5Calpha%5Ccdot2%5Ccos%28n%5Calpha%29%24%24)
. Легво видеть, что коэффициенты многочленов
![$$f_n$$ $$f_n$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f_n%24%24)
- целые числа и при этом старший коэффициент равен единице. Так как
![$$f_n(\frac{2\pi k}{n})=2\cos(n\cdot\frac{2\pi k}{n})=2$$ $$f_n(\frac{2\pi k}{n})=2\cos(n\cdot\frac{2\pi k}{n})=2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f_n%28%5Cfrac%7B2%5Cpi%20k%7D%7Bn%7D%29%3D2%5Ccos%28n%5Ccdot%5Cfrac%7B2%5Cpi%20k%7D%7Bn%7D%29%3D2%24%24)
, то число
![$$2\cos(\frac{2\pi k}{n})$$ $$2\cos(\frac{2\pi k}{n})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%242%5Ccos%28%5Cfrac%7B2%5Cpi%20k%7D%7Bn%7D%29%24%24)
является корнем многочлена
![$$f_n-2$$ $$f_n-2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f_n-2%24%24)
c целыми коэффициентами, старший член которого равен единице. Значит,
![$$2\cos(\frac{2\pi k}{n})$$ $$2\cos(\frac{2\pi k}{n})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%242%5Ccos%28%5Cfrac%7B2%5Cpi%20k%7D%7Bn%7D%29%24%24)
- целое число.
Таким образом
![$$\frac {a^2-b^2} {a^2+b^2}=\pm \frac {1} {2} $$ $$\frac {a^2-b^2} {a^2+b^2}=\pm \frac {1} {2} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7Ba%5E2-b%5E2%7D%20%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%3D%5Cpm%20%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%20%24%24)
или
![$$\frac {a^2-b^2} {a^2+b^2}=0$$ $$\frac {a^2-b^2} {a^2+b^2}=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7Ba%5E2-b%5E2%7D%20%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%3D0%24%24)
, отсюда, учитывая взаимную простоту чисел a и в, легко получить решение.
Ответ:
![$$a=\pm1; \; b=\pm1$$ $$a=\pm1; \; b=\pm1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%3D%5Cpm1%3B%20%5C%3B%20b%3D%5Cpm1%24%24)
или
![$$a=0; \; b=\pm1$$ $$a=0; \; b=\pm1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%3D0%3B%20%5C%3B%20b%3D%5Cpm1%24%24)
или
31) Ввиду свойств арксинуса и арккосинуса верны равенства:
![$$\arcsin(\sin[f(x)])=f(x)$$ $$\arcsin(\sin[f(x)])=f(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Carcsin%28%5Csin%5Bf%28x%29%5D%29%3Df%28x%29%24%24)
в случае, когда
![$$|f(x)|\leq\frac{\pi}{2}$$ $$|f(x)|\leq\frac{\pi}{2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%7Cf%28x%29%7C%5Cleq%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%24%24)
;
![$$\arccos(\cos[g(x)])=|g(x)|$$ $$\arccos(\cos[g(x)])=|g(x)|$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Carccos%28%5Ccos%5Bg%28x%29%5D%29%3D%7Cg%28x%29%7C%24%24)
в случае, когда
![$$|f(x)|\leq\pi$$ $$|f(x)|\leq\pi$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%7Cf%28x%29%7C%5Cleq%5Cpi%24%24)
ввиду четности функции
![$$\cos(x)$$ $$\cos(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Ccos%28x%29%24%24)
.
2) Из неравенства
![$$\cos(a\sin(x))>\sin(b\cos(x))$$ $$\cos(a\sin(x))>\sin(b\cos(x))$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Ccos%28a%5Csin%28x%29%29%3E%5Csin%28b%5Ccos%28x%29%29%24%24)
(*) следует, что
![$$|a|\leq\pi$$ $$|a|\leq\pi$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%7Ca%7C%5Cleq%5Cpi%24%24)
. B самом деле, полагая противное, получим, что при
![$$x_0=\arcsin(\frac{\pi}{a})$$ $$x_0=\arcsin(\frac{\pi}{a})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x_0%3D%5Carcsin%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Ba%7D%29%24%24)
левая часть неравенства (*) равна -1. Противоречие.
Стало быть, функция
![$$g(x)=a\sin(x)$$ $$g(x)=a\sin(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24g%28x%29%3Da%5Csin%28x%29%24%24)
удовлетворяет неравенству
![$$|f(x)|\leq\pi$$ $$|f(x)|\leq\pi$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%7Cf%28x%29%7C%5Cleq%5Cpi%24%24)
и потому для любого х верно равенство
![$$\arccos(\cos[a\sin(x)])=\pm a\sin(x)$$ $$\arccos(\cos[a\sin(x)])=\pm a\sin(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Carccos%28%5Ccos%5Ba%5Csin%28x%29%5D%29%3D%5Cpm%20a%5Csin%28x%29%24%24)
.
3) Из неравенства
![$$\cos(a\sin(x))>\sin(b\cos(x))$$ $$\cos(a\sin(x))>\sin(b\cos(x))$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Ccos%28a%5Csin%28x%29%29%3E%5Csin%28b%5Ccos%28x%29%29%24%24)
(*) следует, что
![$$|b|\leq\frac{\pi}{2}$$ $$|b|\leq\frac{\pi}{2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%7Cb%7C%5Cleq%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%24%24)
. B самом деле, полагая противное, получим, что при
![$$x_0=\arccos(\frac{\pi}{2b})$$ $$x_0=\arccos(\frac{\pi}{2b})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x_0%3D%5Carccos%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2b%7D%29%24%24)
, если
![$$b\geq0$$ $$b\geq0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24b%5Cgeq0%24%24)
, либо при
![$$x_0=\pi+\arccos(-\frac{\pi}{2b})$$ $$x_0=\pi+\arccos(-\frac{\pi}{2b})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x_0%3D%5Cpi%2B%5Carccos%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2b%7D%29%24%24)
, если
![$$b\leq0$$ $$b\leq0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24b%5Cleq0%24%24)
правая часть неравенства (*) равна 1. Противоречие.
Стало быть, функция
![$$f(x)=b\cos(x)$$ $$f(x)=b\cos(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3Db%5Ccos%28x%29%24%24)
удовлетворяет неравенству
![$$|f(x)|\leq\frac{\pi}{2}$$ $$|f(x)|\leq\frac{\pi}{2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%7Cf%28x%29%7C%5Cleq%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%24%24)
и потому для любого х верно равенство
![$$\arcsin(\sin[b\cos(x)])=b\cos(x)$$ $$\arcsin(\sin[b\cos(x)])=b\cos(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Carcsin%28%5Csin%5Bb%5Ccos%28x%29%5D%29%3Db%5Ccos%28x%29%24%24)
.
4) Возьмем от обеих частей неравенства (*) арксинус:
![$$\cos(a\sin(x))>\sin(b\cos(x))$$ $$\cos(a\sin(x))>\sin(b\cos(x))$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Ccos%28a%5Csin%28x%29%29%3E%5Csin%28b%5Ccos%28x%29%29%24%24)
;
![$$\arcsin[\cos(a\sin(x))]>\arcsin[\sin(b\cos(x))]$$ $$\arcsin[\cos(a\sin(x))]>\arcsin[\sin(b\cos(x))]$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Carcsin%5B%5Ccos%28a%5Csin%28x%29%29%5D%3E%5Carcsin%5B%5Csin%28b%5Ccos%28x%29%29%5D%24%24)
;
![$$\frac{\pi}{2}-\arccos[\cos(a\sin(x))]>b\cos(x)$$ $$\frac{\pi}{2}-\arccos[\cos(a\sin(x))]>b\cos(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Carccos%5B%5Ccos%28a%5Csin%28x%29%29%5D%3Eb%5Ccos%28x%29%24%24)
;
![$$\frac{\pi}{2}\pm a\sin(x)>b\cos(x)$$ $$\frac{\pi}{2}\pm a\sin(x)>b\cos(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cpm%20a%5Csin%28x%29%3Eb%5Ccos%28x%29%24%24)
;
![$$\pm a\sin(x)+b\cos(x)<\frac{\pi}{2}$$ $$\pm a\sin(x)+b\cos(x)<\frac{\pi}{2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cpm%20a%5Csin%28x%29%2Bb%5Ccos%28x%29%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%24%24)
;
![$$\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)<\frac{\pi}{2}$$ $$\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)<\frac{\pi}{2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%5Csin%28x%2B%5Calpha%29%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%24%24)
;
![$$a^2+b^2<\frac{\pi^2}{4}$$ $$a^2+b^2<\frac{\pi^2}{4}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%5E2%2Bb%5E2%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7B4%7D%24%24)
.
4Пусть уравнение внешнего края имеет вид
![$$x^2/a^2+y^2/b^2=1$$ $$x^2/a^2+y^2/b^2=1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%24%24)
, a ширина дорожки равна
![$$c$$ $$c$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24c%24%24)
, где
![$$c<b<a$$ $$c<b<a$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24c%3Cb%3Ca%24%24)
. Тогда ясно, что уравнение внутренней части дорожки имеет вид:
![$$x^2/(a-c)^2+y^2/(b-c)^2=1$$ $$x^2/(a-c)^2+y^2/(b-c)^2=1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5E2%2F%28a-c%29%5E2%2By%5E2%2F%28b-c%29%5E2%3D1%24%24)
.
Найдем теперь уравнение этой дорожки исходя из определения ширины дорожки. Параметризуем наш эллипс (внешняя часть дорожки):
![$$\{x=a\cdot\cos\alpha,\\y=b\cdot\sin\alpha.$$ $$\{x=a\cdot\cos\alpha,\\y=b\cdot\sin\alpha.$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%7Bx%3Da%5Ccdot%5Ccos%5Calpha%2C%5C%5Cy%3Db%5Ccdot%5Csin%5Calpha.%24%24)
.
Касательный вектор к эллипсу в точке
![$$(a\cdot\cos\alpha,b\cdot\sin\alpha)$$ $$(a\cdot\cos\alpha,b\cdot\sin\alpha)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28a%5Ccdot%5Ccos%5Calpha%2Cb%5Ccdot%5Csin%5Calpha%29%24%24)
имеет вид
![$$(-a\cdot\sin\alpha,b\cdot\cos\alpha)$$ $$(-a\cdot\sin\alpha,b\cdot\cos\alpha)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28-a%5Ccdot%5Csin%5Calpha%2Cb%5Ccdot%5Ccos%5Calpha%29%24%24)
, a потому перпендикулярный ему вектор имеет вид
![$$(b\cdot\cos\alpha, a\cdot\sin\alpha)$$ $$(b\cdot\cos\alpha, a\cdot\sin\alpha)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28b%5Ccdot%5Ccos%5Calpha%2C%20a%5Ccdot%5Csin%5Calpha%29%24%24)
. Значит, прямая, перпендикулярная эллипсу в точке
![$$(a\cdot\cos\alpha,b\cdot\sin\alpha)$$ $$(a\cdot\cos\alpha,b\cdot\sin\alpha)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28a%5Ccdot%5Ccos%5Calpha%2Cb%5Ccdot%5Csin%5Calpha%29%24%24)
имеет вид
![$$\{x=(a+b\cdot t)\cdot\cos\alpha,\\y=(b+a\cdot t)\cdot\sin\alpha.$$ $$\{x=(a+b\cdot t)\cdot\cos\alpha,\\y=(b+a\cdot t)\cdot\sin\alpha.$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%7Bx%3D%28a%2Bb%5Ccdot%20t%29%5Ccdot%5Ccos%5Calpha%2C%5C%5Cy%3D%28b%2Ba%5Ccdot%20t%29%5Ccdot%5Csin%5Calpha.%24%24)
Так как ширина дорожки равна
![$$c$$ $$c$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24c%24%24)
, то
![$$t=-\frac{c}{\sqrt{a^2\cdot\sin^2\alpha+b^2\cdot\cos^2\alpha}}.$$ $$t=-\frac{c}{\sqrt{a^2\cdot\sin^2\alpha+b^2\cdot\cos^2\alpha}}.$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24t%3D-%5Cfrac%7Bc%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%5Ccdot%5Csin%5E2%5Calpha%2Bb%5E2%5Ccdot%5Ccos%5E2%5Calpha%7D%7D.%24%24)
B параметрическом виде уравнение внутренней дорожки имеет вид:
![$$\{x=(a-b\cdot\frac{c}{\sqrt{a^2\cdot\sin^2\alpha+b^2\cdot\cos^2\alpha}})\cdot\cos\alpha,\\y=(b-a\cdot\frac{c}{\sqrt{a^2\cdot\sin^2\alpha+b^2\cdot\cos^2\alpha}})\cdot\sin\alpha.$$ $$\{x=(a-b\cdot\frac{c}{\sqrt{a^2\cdot\sin^2\alpha+b^2\cdot\cos^2\alpha}})\cdot\cos\alpha,\\y=(b-a\cdot\frac{c}{\sqrt{a^2\cdot\sin^2\alpha+b^2\cdot\cos^2\alpha}})\cdot\sin\alpha.$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%7Bx%3D%28a-b%5Ccdot%5Cfrac%7Bc%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%5Ccdot%5Csin%5E2%5Calpha%2Bb%5E2%5Ccdot%5Ccos%5E2%5Calpha%7D%7D%29%5Ccdot%5Ccos%5Calpha%2C%5C%5Cy%3D%28b-a%5Ccdot%5Cfrac%7Bc%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%5Ccdot%5Csin%5E2%5Calpha%2Bb%5E2%5Ccdot%5Ccos%5E2%5Calpha%7D%7D%29%5Ccdot%5Csin%5Calpha.%24%24)
причем для того, чтобы эта фигура была элипсом, необходимо, чтобы числа х и у при любом
![$$\alpha$$ $$\alpha$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Calpha%24%24)
удовлетворяли уравнению
![$$x^2/(a-c)^2+y^2/(b-c)^2=1$$ $$x^2/(a-c)^2+y^2/(b-c)^2=1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5E2%2F%28a-c%29%5E2%2By%5E2%2F%28b-c%29%5E2%3D1%24%24)
Возьмем
![$$sin^2a=\frac {c^2-b^2} {a^2-b^2}$$ $$sin^2a=\frac {c^2-b^2} {a^2-b^2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24sin%5E2a%3D%5Cfrac%20%7Bc%5E2-b%5E2%7D%20%7Ba%5E2-b%5E2%7D%24%24)
, тогда
![$$cos^2a=\frac {a^2-c^2} {a^2-b^2}$$ $$cos^2a=\frac {a^2-c^2} {a^2-b^2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24cos%5E2a%3D%5Cfrac%20%7Ba%5E2-c%5E2%7D%20%7Ba%5E2-b%5E2%7D%24%24)
и
![$$\sqrt {a^2sin^2\alpha + b^2 cos^2a }=c$$ $$\sqrt {a^2sin^2\alpha + b^2 cos^2a }=c$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Csqrt%20%7Ba%5E2sin%5E2%5Calpha%20%2B%20b%5E2%20cos%5E2a%20%7D%3Dc%24%24)
, таким образом
![$$x^2=\frac {(a-B )^2(a^2-c^2)} {a^2-b^2}$$ $$x^2=\frac {(a-B )^2(a^2-c^2)} {a^2-b^2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5E2%3D%5Cfrac%20%7B%28a-B%20%29%5E2%28a%5E2-c%5E2%29%7D%20%7Ba%5E2-b%5E2%7D%24%24)
![$$y^2=\frac {(a-B )^2(c^2-b^2)} {a^2-b^2}$$ $$y^2=\frac {(a-B )^2(c^2-b^2)} {a^2-b^2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%5E2%3D%5Cfrac%20%7B%28a-B%20%29%5E2%28c%5E2-b%5E2%29%7D%20%7Ba%5E2-b%5E2%7D%24%24)
Подставляя в уравнение эллипса и упрощая получим, что
![$$\frac {2c(a- B )^2} {(a+B )(a-c)(c-B )}=1$$ $$\frac {2c(a- B )^2} {(a+B )(a-c)(c-B )}=1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7B2c%28a-%20B%20%29%5E2%7D%20%7B%28a%2BB%20%29%28a-c%29%28c-B%20%29%7D%3D1%24%24)
Поскольку
![$$c<b$$ $$c<b$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24c%3Cb%24%24)
, то в левой части отрицательное число, a в правой - положительное, следовательно это равенство выполняться не может. Пришли к противоречию
5Рассмотрим 2 случая:
1)
![$$a\in(0;1)$$ $$a\in(0;1)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%5Cin%280%3B1%29%24%24)
Рассмотрим функции
![$$g(x)=log_a(x)$$ $$g(x)=log_a(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24g%28x%29%3Dlog_a%28x%29%24%24)
![$$f(x)=x$$ $$f(x)=x$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3Dx%24%24)
Первая функция монотонно убывает, у вторая монотонно возрастает. Поскольку
![$$g(a)=log_a(a)=1>a=f(a)$$ $$g(a)=log_a(a)=1>a=f(a)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24g%28a%29%3Dlog_a%28a%29%3D1%3Ea%3Df%28a%29%24%24)
и
![$$g(1)=log_a(1)=0<1=f(1)$$ $$g(1)=log_a(1)=0<1=f(1)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24g%281%29%3Dlog_a%281%29%3D0%3C1%3Df%281%29%24%24)
то уравнение имеет решение, причем единственное на отрезке
![$$[a;1]$$ $$[a;1]$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Ba%3B1%5D%24%24)
2)
![$$a>1$$ $$a>1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%3E1%24%24)
Рассмотрим взимное расположение графиков функций для различных a
![Изображение](http://e-science.ru/sites/default/files/upload_forums_files/vc/11.JPG)
мы видим, что до какого то порогового значения a графики пересекаются. Пороговое значение, будет очевидно, когда прямая
![$$y=x$$ $$y=x$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3Dx%24%24)
будет касательной к графику функции
![$$y=log_a(x)$$ $$y=log_a(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3Dlog_a%28x%29%24%24)
. Составим уравнение касательной:
![$$y=log_a(x_0)+\frac {1} {x_0ln(a)}(x-x_0)=\frac {1} {x_0ln(a)}+log_a(x_0)-\frac {1} {ln(a)}$$ $$y=log_a(x_0)+\frac {1} {x_0ln(a)}(x-x_0)=\frac {1} {x_0ln(a)}+log_a(x_0)-\frac {1} {ln(a)}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3Dlog_a%28x_0%29%2B%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7Bx_0ln%28a%29%7D%28x-x_0%29%3D%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7Bx_0ln%28a%29%7D%2Blog_a%28x_0%29-%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7Bln%28a%29%7D%24%24)
Чтобы эта прямая была прямой у=х необходимо, чтобы
![$$\{{x_0ln(a)=1 \\ log_a(x_0)=1/ln(a)}$$ $$\{{x_0ln(a)=1 \\ log_a(x_0)=1/ln(a)}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%7B%7Bx_0ln%28a%29%3D1%20%5C%5C%20log_a%28x_0%29%3D1%2Fln%28a%29%7D%24%24)
Откуда
![$$a=e^{(e^{-1})}$$ $$a=e^{(e^{-1})}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%3De%5E%7B%28e%5E%7B-1%7D%29%7D%24%24)
Таким образом, решения будут при
6Пусть т.O - центр круга, т.A-точка, через кот. провели ходы. Хорды назовем KL и MN. Ha меньшей части дуги ML отметим точку P, на меньшей части дуги KN отметим точку F. Пусть
![$$\breve{MPL}<\breve{KFN}$$ $$\breve{MPL}<\breve{KFN}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cbreve%7BMPL%7D%3C%5Cbreve%7BKFN%7D%24%24)
. Опустим из т.O на KL и KN перпендикуляры, они пересекут эти хорды в точках C и B соответственно. По условию OC=a, OB=b (заметим, что ABOC - прямоугольник). Ну и напоследок проведем радиусы OK и ON.
![$$CL=CK=\sqrt{R^2-a^2}, \; AL=CL-AC=\sqrt{R^2-a^2}-b \\ BM=BN=\sqrt{R^2-b^2}, \; AM=BM-AB=\sqrt{R^2-b^2}-a$$ $$CL=CK=\sqrt{R^2-a^2}, \; AL=CL-AC=\sqrt{R^2-a^2}-b \\ BM=BN=\sqrt{R^2-b^2}, \; AM=BM-AB=\sqrt{R^2-b^2}-a$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24CL%3DCK%3D%5Csqrt%7BR%5E2-a%5E2%7D%2C%20%5C%3B%20AL%3DCL-AC%3D%5Csqrt%7BR%5E2-a%5E2%7D-b%20%5C%5C%20BM%3DBN%3D%5Csqrt%7BR%5E2-b%5E2%7D%2C%20%5C%3B%20AM%3DBM-AB%3D%5Csqrt%7BR%5E2-b%5E2%7D-a%24%24)
Пусть
![$$S$$ $$S$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S%24%24)
- искомая площадь.
![$$S=S_1+S_2 \;$$ $$S=S_1+S_2 \;$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S%3DS_1%2BS_2%20%5C%3B%24%24)
, где
![$$S_1$$ $$S_1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S_1%24%24)
- площадь треугольника MAL, a
![$$S_2$$ $$S_2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S_2%24%24)
- площадь части круга, заключенной между хордой ML и дугой MPL.
![$$S_1={1 \over 2}AM \cdot AL$$ $$S_1={1 \over 2}AM \cdot AL$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S_1%3D%7B1%20%5Cover%202%7DAM%20%5Ccdot%20AL%24%24)
![$$S_2={\pi R^2 \over 360^{\circ}}\cdot \alpha - {1 \over 2}R^2 \sin \alpha; \; \cos \alpha = 1-{ML^2 \over 2R^2} \\ ML^2=AM^2+AL^2=2R^2-2a\sqrt{R^2-b^2}-2b\sqrt{R^2-a^2}$$ $$S_2={\pi R^2 \over 360^{\circ}}\cdot \alpha - {1 \over 2}R^2 \sin \alpha; \; \cos \alpha = 1-{ML^2 \over 2R^2} \\ ML^2=AM^2+AL^2=2R^2-2a\sqrt{R^2-b^2}-2b\sqrt{R^2-a^2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S_2%3D%7B%5Cpi%20R%5E2%20%5Cover%20360%5E%7B%5Ccirc%7D%7D%5Ccdot%20%5Calpha%20-%20%7B1%20%5Cover%202%7DR%5E2%20%5Csin%20%5Calpha%3B%20%5C%3B%20%5Ccos%20%5Calpha%20%3D%201-%7BML%5E2%20%5Cover%202R%5E2%7D%20%5C%5C%20ML%5E2%3DAM%5E2%2BAL%5E2%3D2R%5E2-2a%5Csqrt%7BR%5E2-b%5E2%7D-2b%5Csqrt%7BR%5E2-a%5E2%7D%24%24)
T.e:
![$$\cos \alpha =1-{R^2-a\sqrt{R^2-b^2}-b\sqrt{R^2-a^2} \over R^2}={a\sqrt{R^2-b^2}+b\sqrt{R^2-a^2}\over R^2}$$ $$\cos \alpha =1-{R^2-a\sqrt{R^2-b^2}-b\sqrt{R^2-a^2} \over R^2}={a\sqrt{R^2-b^2}+b\sqrt{R^2-a^2}\over R^2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Ccos%20%5Calpha%20%3D1-%7BR%5E2-a%5Csqrt%7BR%5E2-b%5E2%7D-b%5Csqrt%7BR%5E2-a%5E2%7D%20%5Cover%20R%5E2%7D%3D%7Ba%5Csqrt%7BR%5E2-b%5E2%7D%2Bb%5Csqrt%7BR%5E2-a%5E2%7D%5Cover%20R%5E2%7D%24%24)
B итоге получим
ответ:
Авторы решений, проверте пожалуйста, все ли так. Времени еще 2 часа)