Начинаю потихоньку переносить окончательные решения задач.
1Пусть
,
и
.
При этом можно считать, что степень многочлена
ненулевая, так как для константного многочлена утверждение очевидно. Тогда
.
Пусть
, где
НОД - корень многочлена
. Тогда
Значит,
Так как числа
и
взаимно просты, то
НОД=
НОД. A значит,
и
. B силу того, что
, то
(*).
Вычитая из первого уравнения второе, получаем
. При
мы придем к противоречию. Значит, если
корней нет.
Если
, то складывая оба уравнения из (*), получаем
, т.e.
.
2Запишем уравнение в виде
или
, где
После сокращений получаем
или
, тогда
Докажем, что
- целое число. Действительно, рассмотрим многочлены
, удовлетворяющие условию
. Их можно построить рекуррентно:
ввиду равенства
, a равенство
следует из
. Легво видеть, что коэффициенты многочленов
- целые числа и при этом старший коэффициент равен единице. Так как
, то число
является корнем многочлена
c целыми коэффициентами, старший член которого равен единице. Значит,
- целое число.
Таким образом
или
, отсюда, учитывая взаимную простоту чисел a и в, легко получить решение.
Ответ:
или
или
31) Ввиду свойств арксинуса и арккосинуса верны равенства:
в случае, когда
;
в случае, когда
ввиду четности функции
.
2) Из неравенства
(*) следует, что
. B самом деле, полагая противное, получим, что при
левая часть неравенства (*) равна -1. Противоречие.
Стало быть, функция
удовлетворяет неравенству
и потому для любого х верно равенство
.
3) Из неравенства
(*) следует, что
. B самом деле, полагая противное, получим, что при
, если
, либо при
, если
правая часть неравенства (*) равна 1. Противоречие.
Стало быть, функция
удовлетворяет неравенству
и потому для любого х верно равенство
.
4) Возьмем от обеих частей неравенства (*) арксинус:
;
;
;
;
;
;
.
4Пусть уравнение внешнего края имеет вид
, a ширина дорожки равна
, где
. Тогда ясно, что уравнение внутренней части дорожки имеет вид:
.
Найдем теперь уравнение этой дорожки исходя из определения ширины дорожки. Параметризуем наш эллипс (внешняя часть дорожки):
.
Касательный вектор к эллипсу в точке
имеет вид
, a потому перпендикулярный ему вектор имеет вид
. Значит, прямая, перпендикулярная эллипсу в точке
имеет вид
Так как ширина дорожки равна
, то
B параметрическом виде уравнение внутренней дорожки имеет вид:
причем для того, чтобы эта фигура была элипсом, необходимо, чтобы числа х и у при любом
удовлетворяли уравнению
Возьмем
, тогда
и
, таким образом
Подставляя в уравнение эллипса и упрощая получим, что
Поскольку
, то в левой части отрицательное число, a в правой - положительное, следовательно это равенство выполняться не может. Пришли к противоречию
5Рассмотрим 2 случая:
1)
Рассмотрим функции
Первая функция монотонно убывает, у вторая монотонно возрастает. Поскольку
и
то уравнение имеет решение, причем единственное на отрезке
2)
Рассмотрим взимное расположение графиков функций для различных a
мы видим, что до какого то порогового значения a графики пересекаются. Пороговое значение, будет очевидно, когда прямая
будет касательной к графику функции
. Составим уравнение касательной:
Чтобы эта прямая была прямой у=х необходимо, чтобы
Откуда
Таким образом, решения будут при
6Пусть т.O - центр круга, т.A-точка, через кот. провели ходы. Хорды назовем KL и MN. Ha меньшей части дуги ML отметим точку P, на меньшей части дуги KN отметим точку F. Пусть
. Опустим из т.O на KL и KN перпендикуляры, они пересекут эти хорды в точках C и B соответственно. По условию OC=a, OB=b (заметим, что ABOC - прямоугольник). Ну и напоследок проведем радиусы OK и ON.
Пусть
- искомая площадь.
, где
- площадь треугольника MAL, a
- площадь части круга, заключенной между хордой ML и дугой MPL.
T.e:
B итоге получим
ответ:Авторы решений, проверте пожалуйста, все ли так. Времени еще 2 часа)