помогите c линалом

kurt · Сообщение **kurt** » 06 июл 2007, 02:00

Образуют ли матрицы
$E_{1}=\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}, E_{2}=\begin{pmatrix}1&-1 \\ -1&1 \end{pmatrix},E_{3}=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 1&-1 \end{pmatrix}, E_{4}=\begin{pmatrix}1&1 \\ -1&-1 \end{pmatrix}$ базис в пространстве матриц $M_{2,2}$ ?

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 06 июл 2007, 02:16

kurt писал(а):Source of the post
Образуют ли матрицы
$E_{1}=\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}, E_{2}=\begin{pmatrix}1&-1 \\ -1&1 \end{pmatrix},E_{3}=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 1&-1 \end{pmatrix}, E_{4}=\begin{pmatrix}1&1 \\ -1&-1 \end{pmatrix}$ базис в пространстве матриц $M_{2,2}$ ?

Для того, чтобы они образовывали базис необходимо, чтобы данная система матриц была линейно независимой, т.e. чтобы
$a*\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix}1&-1 \\ -1&1 \end{pmatrix}+c*\begin{pmatrix}1&-1 \\ 1&-1 \end{pmatrix}+d*\begin{pmatrix}1&1 \\ -1&-1 \end{pmatrix}=0$
Только при $$a=b=c=d=0$$

. Преобразуем систему:
$(a\;b\;c\;d)\cdot\begin{pmatrix}1&1&1&1 \\1&-1&-1&1 \\1&-1&1&-1 \\1&1&-1&-1\end{pmatrix}=0$
Чтобы она имела единственное нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы матрица
$\begin{pmatrix}1&1&1&1 \\1&-1&-1&1 \\1&-1&1&-1 \\1&1&-1&-1\end{pmatrix}$ была невырожденной

kurt · Сообщение **kurt** » 06 июл 2007, 02:23

Спасибо a_l_e_x за оказанную помощь!

kurt · Сообщение **kurt** » 06 июл 2007, 02:37

A_l_e_x пожалуйста посмотрите след. задачу=>
=>Линейный оператор A - поворот вокруг начала координат на угол $\pi$ /4 по часовой стрелке. Найти матрицу оператора A в базисе {i,j} (подскажите пжлста)

kurt · Сообщение **kurt** » 06 июл 2007, 21:11

A_l_e_x пожалуйста посмотрите след. задачу=>
=>Линейный оператор A - поворот вокруг начала координат на угол $\pi$ /4 по часовой стрелке. Найти матрицу оператора A в базисе {i,j} (подскажите пжлста)

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 06 июл 2007, 23:40

kurt писал(а):Source of the post
A_l_e_x пожалуйста посмотрите след. задачу=>
=>Линейный оператор A - поворот вокруг начала координат на угол $\pi$ /4 по часовой стрелке. Найти матрицу оператора A в базисе {i,j} (подскажите пжлста)

Найдем образы базисных векторов. Нарисовав простой рисунок сразу получим, что
$\mathcal{A} i =\frac{1}{\sqrt{2}}i - \frac{1}{\sqrt{2}}j,\ \mathcal{A}j = \frac{1}{\sqrt{2}}i + \frac{1}{\sqrt{2}}j$ . Отсюда получаем матрицу линейного оператора
$A = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right)$

kurt · Сообщение **kurt** » 07 июл 2007, 00:05

Огромное спасибо AV_77. ))))

kurt · Сообщение **kurt** » 08 июл 2007, 22:27

Умные люди помогите ещё разок
He знаю как решить след. : в пространстве $V_{3}$ оператор действует по правилу $A\bar {x}=(\bar {x},\bar {a})*\bar {a}$ , где $\bar {a}=(1/sqrt 3)(MATH]\bar {i}+ \bar {j}+\bar {k}$ ) . Показать линейность , найти матрицу оператора в каноническом базисе . Найти ядро.
Заранее благодарен kurt //чертовы, теги ; извинте, что вектор $\bar {a}$ получился таким

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 08 июл 2007, 22:43

kurt писал(а):Source of the post
B пространстве $V_{3}$ оператор действует по правилу ...

Если я правильно понял, то оператор $\mathcal{A}$ действует следующим образом:
$\mathcal{A} \mathbf{x} = (\mathbf{x} | \mathbf{a}) \mathbf{a}$ , где $\mathbf{a}$ - некоторый фиксированный вектор, a $( \cdot | \cdot)$ - скалярное произведение.

B таком случае линейность оператора следует из свойств скалярного произведения и аксиом векторного пространства:
$\mathcal{A} (\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y}) = ( \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y} | \mathbf{a}) \mathbf{a} = (( \alpha \mathbf{x} | \mathbf{a}) + (\beta \mathbf{y} | \mathbf{a})) \mathbf{a} = ( \alpha \mathbf{x} | \mathbf{a}) \mathbf{a} + ( \beta \mathbf{y} | \mathbf{a}) \mathbf{a} = \alpha ( \mathbf{x} | \mathbf{a}) \mathbf{a} + \beta ( \mathbf{y} | \mathbf{a}) \mathbf{a} = \alpha \mathcal{A} \mathbf{x} + \beta \mathcal{A} \mathbf{y}$ .

Пусть $\mathbf{a} = a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} + a_3 \mathbf{k}$ . Тогда
$\mathcal{A} \mathbf{i} = a_1 \mathcal{a},\\ \mathcal{A} \mathbf{j} = a_2 \mathbf{a},\\ \mathcal{A} \mathbf{k} = a_3 \mathbf{a},$
откуда получаем матрицу линейного оператора:
$A = \begin{pmatrix} a_1^2 & a_1 a_2 & a_1 a_3 \\ a_1 a_2 & a_2^2 & a_2 a_3 \\ a_1 a_3 & a_2 a_3 & a_3^2 \end{pmatrix}$

Ядро линейного оператора состоит из всех векторов $\mathbf{x} \in V$ таких, что $(\mathbf{x} | \mathbf{a}) = 0$ , т.e. векторов, ортогональных вектору $\mathbf{a}$ . Найти его можно решив систему линейных уравнений вида (одно уравнение c тремя переменными)
$$ a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0 $$

.

kurt · Сообщение **kurt** » 08 июл 2007, 23:06

Bellisimo(здорово) , как говорят итальянцы. СПАСИБО AV_77 ))) за проделанную работу

yourdomain.com