Диффуры и Ряды !

deshi · Сообщение **deshi** » 27 июн 2007, 21:37

Итак, мне сегодня препод дал 6 заданий. 3 диффуры 3 ряды и сказал принисти их завтра и у меня будет только ------ЗАЧЁТ------ (я думаю вы понимаете какое у меня на данный момент плачевное положение) помогите их решить ПОЖАЛУЙСТА..... НУ ОЧ. НАДО!!!!!!!!!!!!!

1. $$xy'=ylny$$

2. $y'+\frac {y} {x}=1$

3. $y''-5y'+6y=e^{4x}$

Теперь Ряды.......

1. $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^n} {n}}$

2. $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {(x-1)^n} {2^nn^2}}$

3. $\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac {3n-3} {4n+5})^{2n}}$

P.S. Умоляю решите как можно быстрее ...........................

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 27 июн 2007, 22:01

deshi писал(а):Source of the post
1. $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^n} {n}}$

Посмотри в любом учебнике знакопеременные ряды. Такой ряд там обязательно рассматривается.

deshi писал(а):Source of the post
2. $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {(x-1)^n} {2^nn^2}}$

Рассмотри отдельно случаи $|x-1| < 2,\ |x-1| = 2,\ |x-1| > 2$ и используй тот факт, что экспоненциальная функция $\alpha^{n}$ растет быстрее любой степени $$ n $$

, если $\alpha > 1$ .

deshi писал(а):Source of the post
3. $\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac {3n-3} {4n+5})^{2n}}$

Используй неравенство $\frac {3n-3} {4n+5} < \frac{3n}{4n} = \frac{3}{4}.$

deshi · Сообщение **deshi** » 28 июн 2007, 00:05

Угу спасибо .......... a кстать ктонить может мне проинтегрировать

$\int {\frac {dy} {ylny}}=\int {\frac {dx} {x}}$

Natrix · Сообщение **Natrix** » 28 июн 2007, 00:07

deshi писал(а):Source of the post
Итак, мне сегодня препод дал 6 заданий. 3 диффуры 3 ряды и сказал принисти их завтра и у меня будет только ------ЗАЧЁТ------ (я думаю вы понимаете какое у меня на данный момент плачевное положение) помогите их решить ПОЖАЛУЙСТА..... НУ ОЧ. НАДО!!!!!!!!!!!!!

1.

$x\frac{dy}{dx}=y\ln y\\\frac{dy}{y\ln y}=\frac{dx}{x}\\\ln(\ln y)=\ln Cx\\\ln y=Cx\\y=e^{Cx}$

deshi · Сообщение **deshi** » 28 июн 2007, 00:15

Natrix писал(а):Source of the post
deshi писал(а):Source of the post
Итак, мне сегодня препод дал 6 заданий. 3 диффуры 3 ряды и сказал принисти их завтра и у меня будет только ------ЗАЧЁТ------ (я думаю вы понимаете какое у меня на данный момент плачевное положение) помогите их решить ПОЖАЛУЙСТА..... НУ ОЧ. НАДО!!!!!!!!!!!!!

1.

$x\frac{dy}{dx}=y\ln y\\\frac{dy}{y\ln y}=\frac{dx}{x}\\\ln(\ln y)=\ln Cx\\\ln y=Cx\\y=e^{Cx}$

СПАСИБО ЧЕЛ=))))))))))))

Natrix · Сообщение **Natrix** » 28 июн 2007, 00:19

deshi писал(а):Source of the post
Итак, мне сегодня препод дал 6 заданий. 3 диффуры 3 ряды и сказал принисти их завтра и у меня будет только ------ЗАЧЁТ------ (я думаю вы понимаете какое у меня на данный момент плачевное положение) помогите их решить ПОЖАЛУЙСТА..... НУ ОЧ. НАДО!!!!!!!!!!!!!

2. $y'+\frac {y} {x}=1$

$y'+\frac {y} {x}=1\\y'+\frac {y} {x}=0\\\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\\\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\\y=-Cx\\y=-C(x)x\\y'=-C'(x)x-C(x)\\-C'(x)x-C(x)+C(x)=1\\-C'(x)x=1\\\frac{dC}{dx}x=-1\\dC=-\frac{dx}{x}\\C=-\ln C_2x\\y(x)=-x\ln C_2 x$

Natrix · Сообщение **Natrix** » 28 июн 2007, 00:37

deshi писал(а):Source of the post
Итак, мне сегодня препод дал 6 заданий. 3 диффуры 3 ряды и сказал принисти их завтра и у меня будет только ------ЗАЧЁТ------ (я думаю вы понимаете какое у меня на данный момент плачевное положение) помогите их решить ПОЖАЛУЙСТА..... НУ ОЧ. НАДО!!!!!!!!!!!!!

3. $y''-5y'+6y=e^{4x}$

$y''-5y'+6y=e^{4x}\\y''-5y'+6y=0\\k^2-5k+6=0\\k_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}\\k_1=3\\k_2=2\\y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}\\y_0=(Px+Q)e^{4x}\\y'_0=Pe^{4x}+4(Px+Q)e^{4x}\\y''_0=4Pe^{4x}+4Pe^{4x}+16(Px+Q)e^{4x}\\4Pe^{4x}+4Pe^{4x}+16(Px+Q)e^{4x}-5Pe^{4x}-20(Px+Q)e^{4x}+6(Px+Q)e^{4x}=e^{4x}\\2Pxe^{4x}+(3P-2Q)e^{4x}=e^{4x}\\P=0\\-2Q=1\\y_0=-\frac{1}{2}e^{4x}\\y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}-\frac{1}{2}e^{4x}$

deshi · Сообщение **deshi** » 28 июн 2007, 00:50

<skipped by Natrix>
Так ну....c Диффурами мы разобрались =))))))))))))) A вот у меня назрел маленький вопросик по поводу написанного AV_77......... a можно ли это всё написать как-нибудь иначе т.e. поподробней =))))))))))) a лучше всего как это зделал Natrix =))))))))))) (Заранее Спасибо)

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 28 июн 2007, 01:16

deshi писал(а):Source of the post
1. $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^n} {n}}$

Поскольку последовательность $a_n=\frac {1} {n}$ монотонно убывает и
$\lim_{n\right \infty}{a_n}=0$ то ряд сходится по признаку Лейбница

deshi писал(а):Source of the post
2. $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {(x-1)^n} {2^nn^2}}$

По теореме коши-адамара
$1/R=\lim_{n\right \infty}{f(x)}\frac {1} {\sqrt[n] {2^nn^2}}=\frac {1} {\lim_{n\right \infty}{2\sqrt[n] {n^2}}}=1/2$
Таким образом при $$|x-1|<2$$

ряд сходится абсолютно и равномерно, при
$$|x-1|>2$$

расходится.
При $$|x-1|=2$$

ряд из модулей имеет вид $\sum_{i=1}^{\infty}{\frac {1} {n^2}}$ и также сходится

deshi писал(а):Source of the post
3. $\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac {3n-3} {4n+5})^{2n}}$

$\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac {3n-3} {4n+5})^{2n}}<\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac {3} {4})^{2n}}=\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac {9} {16})^{n}}$
ряд $\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac {9} {16})^{n}}$ сходится как сумма убывающей геметрической прогрессии co знаменателем, меньшим 1. Следовательно, по теореме сравнения исходный ряд также сходится

yourdomain.com