Алгебраические структуры,линейное пространство и линейные операторы

ita · Сообщение **ita** » 12 июн 2007, 21:55

Спасибо,я запомню его на всякий случай!
HO.. может c мат.инд попробовать.Правда, теорему Штейница не помню,помню читала док-во c мат.инд в учебнике Курош Линейная алгебра,оно мне не понравилось,поэтому щас не помню.Как-нибудь,пожалуйста!

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 12 июн 2007, 23:24

ita писал(а):Source of the post
Спасибо,я запомню его на всякий случай!
HO.. может c мат.инд попробовать.Правда, теорему Штейница не помню,помню читала док-во c мат.инд в учебнике Курош Линейная алгебра,оно мне не понравилось,поэтому щас не помню.Как-нибудь,пожалуйста!

Полностью доказательство писать не буду - очень много. Только основные моменты.
Итак, формулируем следующую

Теорему. Если система векторов $$ y_1, ..., y_s $$

линейно независима и каждый вектор $$ y_j $$

линейно выражается через систему $$ x_1, ..., x_r $$

, то в последней можно выбрать ровно s линейно независимых векторов $x_{i_1}, ..., x_{i_s}$ так, что ee можно заменить на систему $$ y_1, ..., y_s $$

. При этом системы $$ x_1, ..., x_r $$

и новая система, полученная заменой $x_{i_1}, ..., x_{i_s}$ на $$ y_1, ..., y_s $$

, будут эквивалентными.

Доказательство проводится следующим образом.
1) Если система $$ y_1, ..., y_s $$

состоит из одного вектора, то показываем, что в линейной комбинации
$y_1 = \alpha_1 x_1 + ... + \alpha_r x_r$
существует ненулевой коэффициент, например, $\alpha_1$ . Заменяем $$ x_1 $$

на

и показываем, что новая система $$ y_1, x_2, ..., x_r $$

эквивалентна системе $$ x_1, ..., x_r $$

.
2) Если утверждение уже доказано для $$ s-1 $$

векторов, то, по предположению индукции, заменяем систему из первых $$ s-1 $$

векторов, получим систему $y_1, ..., y_{s-1}, x_s, ..., x_r$ , эквивалентную исходной. Теперь показываем, что в линейной комбинации
$y_s = \alpha_1 y_1 + ... + \alpha_{s-1} y_{s-1} + \alpha_s x_s + ... + \alpha_r x_r$
существует ненулевой коэффициент $\alpha_j$ такой, что $$ j > s-1 $$

. После этого заменяем этот $$ x $$

на

.

LedZeppelin · Сообщение **LedZeppelin** » 14 июн 2007, 01:56

ita писал(а):Source of the post
Линейня зависимость системы из (к+1) вектор,которая линейно выражется через систему из к векторов.
и...
(свойство "Линейная звисимость системы из к векторов,которая линейно выражется через систему из m векторов?когд к>m) - док-во ведь одно и тоже?!

у меня клнечно другой учебник (и по-мойму лучше), так ,что моё док-во может не прокатить но:
оба этих свойства следствия из теоремы o максимально полной системе линейно зависимых векторов, т.e
т.к
$$(y_1,..,y_k)=L(x_1,..x_m)$$

то $rank(y_1,..,y_k)\le m$ т.e максимально линейно независимая система векторов состоит из m векторов но k>m след. $$(y_1,..,y_k)$$

линейнозависима

yourdomain.com