Интересные олимпиадные задачи

Аватар пользователя
Krrechet
Сообщений: 197
Зарегистрирован: 01 май 2007, 21:00

Интересные олимпиадные задачи

Сообщение Krrechet » 31 май 2007, 14:11

Вспомнил не сложную, но достаточно красивую задачку:
Дана функция $$f(x)=x^2+12x+30 $$,
решить уравнение: $$f(f(f(f(f(x)))))=0 $$.
Последний раз редактировалось Krrechet 30 ноя 2019, 14:41, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Krrechet
Сообщений: 197
Зарегистрирован: 01 май 2007, 21:00

Интересные олимпиадные задачи

Сообщение Krrechet » 31 май 2007, 16:45

Вашему вниманию предлагается еще одна интересная задачка c хитроумным решением:
Сумма целых чисел $$x, y, z, t$$ равна нулю. Докажите, что число
$${x^4+y^4+z^4 +t^4 \over 2}+2xyzt$$ является квадратом целого числа.
Последний раз редактировалось Krrechet 30 ноя 2019, 14:41, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

a_l_e_x86
Сообщений: 985
Зарегистрирован: 02 мар 2007, 21:00

Интересные олимпиадные задачи

Сообщение a_l_e_x86 » 31 май 2007, 18:51

Krrechet писал(а):Source of the post
Вспомнил не сложную, но достаточно красивую задачку:
Дана функция $$f(x)=x^2+12x+30 $$,
решить уравнение: $$f(f(f(f(f(x)))))=0 $$.

Хм.. при решении задачи "в лоб" у меня получилось $$x=-6\pm\sqrt[32]6$$
Неправильно наверное
Последний раз редактировалось a_l_e_x86 30 ноя 2019, 14:41, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Pavlovsky
Сообщений: 1377
Зарегистрирован: 30 июл 2006, 21:00

Интересные олимпиадные задачи

Сообщение Pavlovsky » 31 май 2007, 19:15

Krrechet писал(а):Source of the post
Вспомнил не сложную, но достаточно красивую задачку:
Дана функция $$f(x)=x^2+12x+30 $$,
решить уравнение: $$f(f(f(f(f(x)))))=0 $$.

Пусть $$x_1$$ решение уравнения $$x^2+12x+30=0$$
тогда $$f(f(f(f(f(x)))))=0 $$ можно заменить на $$f(f(f(f(x))))=x_1 $$
Далее решаем уравнение $$x^2+12x+30=x_1$$
и так далее решаем $$2^5$$ квадратных уравнения и будет нам счастье
Последний раз редактировалось Pavlovsky 30 ноя 2019, 14:41, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Krrechet
Сообщений: 197
Зарегистрирован: 01 май 2007, 21:00

Интересные олимпиадные задачи

Сообщение Krrechet » 31 май 2007, 19:32

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Krrechet писал(а):Source of the post
Вспомнил не сложную, но достаточно красивую задачку:
Дана функция $$f(x)=x^2+12x+30 $$,
решить уравнение: $$f(f(f(f(f(x)))))=0 $$.

Хм.. при решении задачи "в лоб" у меня получилось $$x=-6\pm\sqrt[32]6$$
Неправильно наверное

Ответ верный, хотелось бы, чтобы вы догадались до простого и красивого решения....
Последний раз редактировалось Krrechet 30 ноя 2019, 14:41, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
bot
Сообщений: 2001
Зарегистрирован: 29 май 2007, 21:00

Интересные олимпиадные задачи

Сообщение bot » 31 май 2007, 19:35

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post Неправильно наверное

Пральна.
$$f(x)=(x+6)^2 - 6$$
Отсюда всё очевидно.
Последний раз редактировалось bot 30 ноя 2019, 14:41, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

a_l_e_x86
Сообщений: 985
Зарегистрирован: 02 мар 2007, 21:00

Интересные олимпиадные задачи

Сообщение a_l_e_x86 » 31 май 2007, 19:39

bot писал(а):Source of the post
Пральна.
$$f(x)=(x+6)^2 - 6$$
Отсюда всё очевидно.

И правда.. как же это я не заметил...
Последний раз редактировалось a_l_e_x86 30 ноя 2019, 14:41, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Krrechet
Сообщений: 197
Зарегистрирован: 01 май 2007, 21:00

Интересные олимпиадные задачи

Сообщение Krrechet » 31 май 2007, 19:47

Действительно:
$$f(x)=x^2+12x+30=(x+6)^2-6$$,
Отсюдо не сложно получить, что
$$f(f(x))=((x+6)^2)^2-6=(x+6)^4-6$$,
a также $$f(f(f(f(f(x)))))=(x+6)^{32}-6$$.
Отсюдаа и получаем ответ: $$x=-6 \pm \sqrt[32]{6}$$
Последний раз редактировалось Krrechet 30 ноя 2019, 14:41, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Pavlukhin
Сообщений: 138
Зарегистрирован: 12 май 2007, 21:00

Интересные олимпиадные задачи

Сообщение Pavlukhin » 01 июн 2007, 01:01

$$\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{2}+2xyzt$$

$$x+y+z+t=0\\x+y=-(z+t)\\(x+y)^2=(z+t)^2=a$$

$$x^4+y^4+z^4+t^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(z^2+t^2)^2-2z^2t^2=((x+y)^2-2xy)^2-2x^2y^2+((z+t)^2-2zt)^2-2z^2t^2=\\=(a-2xy)^2-2x^2y^2+(a-2zt)^2-2z^2t^2=a^2-4axy+4x^2y^2-2x^2y^2+a^2-4azt+4z^2t^2-2z^2t^2=\\=2a^2-4a(xy+zt)+2(x^2y^2+z^2t^2)$$

$$\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{2}+2xyzt=a^2-2a(xy+zt)+(x^2y^2+z^2t^2+2xyzt)=a^2-2a(xy+zt)+(xy+zt)^2=(a-(xy+zt))^2$$

вуаля...давно так не радовался решая задачки))))
Последний раз редактировалось Pavlukhin 30 ноя 2019, 14:41, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Krrechet
Сообщений: 197
Зарегистрирован: 01 май 2007, 21:00

Интересные олимпиадные задачи

Сообщение Krrechet » 02 июн 2007, 02:08

Pavlukhin, молодец, вроде все правильно (во всяком случае я ошибки не вижу): +1

Хотелось бы еще какие-нибудь способы решения увидеть, прежде чем я выложу авторкое решение...

PS: что-то какой-то слабоватый энтузиазм по данной теме... почему ни кто не пишет co своей стороны интересные задачи? И элита форума что-то молчит (Natrix, AV_77 ... )
Последний раз редактировалось Krrechet 30 ноя 2019, 14:41, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test


Вернуться в «Олимпиадные задачи»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость