Что такое множество?

vipakoz · Сообщение **vipakoz** » 20 ноя 2016, 16:07

"Удобной иллюстрацией множеств являются диаграммы Эйлера-Венна, на которых универсальное множество изображается прямоугольником, а его подмножества – кругами или эллипсами" http://www.studfiles.ru/preview/4229246/

ARRY · Сообщение **ARRY** » 20 ноя 2016, 17:38

Anik писал(а):Source of the post Ну не соответствует символьная запись: $A\subseteq B$ , словесной формулировке определения! Ведь нужно подключить подразумевания, чтобы понять, что отношение $\subseteq$ означает не только включение, но и равенство множеств. А в словесной формулировке о равенстве множеств не упоминается.

Anik, с каждым комментом Вы всё дальше уходите от истины. Не надо никакого подразумевания. Это наиболее обобщённое определение подмножества. Множество A называют подмножеством множества B, если все элементы множества A являются также элементами множества B. Ключевые слова здесь - все и являются. Обозначение $A\subseteq B$ . Всё последовательно и логично. Пользуясь этим определением, мы можем дать теперь определение равенства множеств.
Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Иными словами, если каждый элемент множества A является также элементом множества B, и каждый элемент множества B является также элементом множества A, то $$A=B$$

. Формально: $A\subseteq B \lor B\subseteq A\Leftrightarrow A=B$ . Чувствуете разницу с Вашими потугами? Нормальная логика даёт определение отношения " $$=$$

" на основе отношения" $\subseteq$ ".И вот только теперь, используя понятие равенства множеств, можно классифицировать подмножества на собственные (или строгие) и несобственные. Таким образом любое множество является несобственным подмножеством самого себя.

Anik писал(а):Source of the post А вот значку $A\subseteq B$ соответствует такое определение: если любому элементу множества A соответствует элемент множества B или (любому элементу множества A соответствует элемент множества B и любому элементу множества B соответствует элемент множества A), то говорят, что множество A является подмножеством множества B. На языке кванторов это запишется так:
$(A\subseteq B)\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B)\vee [(x\in A\Rightarrow x\in B)\wedge (x\in B\Rightarrow x\in A)]$

Ну Вы и намудрили. Зачем запутывать то, что не просто, а очень просто. Формальная запись Ваша верна, но она же упрощается и приводит к виду из Вашего учебника. Зачем искусственно громоздить формулы?
Знаете, что Вы сделали? Вот Вам аналогия (просто пришла в голову). Признак делимости на 6: число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3. В Вашей интерпретации это выглядело бы так: число делится на 6, если оно чётное и сумма его цифр делится на 3. Верно? Да, но громоздко.
А вот словесное Ваше описание просто ужасно. Во-первых это не русский язык (в Вашем же учебнике все определения складные), а во-вторых... Элемент множества соответствует самому себе? Это как? Скажем, элемент множества может находиться в отношении с самим собой - рефлексивность. Но соответствовать самому себе? Может, я чего не знаю - просветите.

Anik писал(а):Source of the post Неужели этого не видно невооружённым глазом?

Не только невооружённым, но и вооружившись, не могу с Вами согласиться. Математика - сложная вещь, но уж если есть в ней простые места, то уж их-то усложнять не надо, ладно?

Anik · Сообщение **Anik** » 21 ноя 2016, 06:11

ARRY писал(а):Source of the post Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Иными словами, если каждый элемент множества A является также элементом множества B, и каждый элемент множества B является также элементом множества A, то . Формально: $A\subseteq B \lor B\subseteq A\Leftrightarrow A=B$ . Чувствуете разницу с Вашими потугами? Нормальная логика даёт определение отношения "" на основе отношения" $\subseteq$ ".

Если множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то это одно и то же множество. (А имена А и В, в этом случае, просто синонимы, т.е. один и тот же объект назван разными именами, что крайне нежелательно).
ARRY, какое словесное определение вы дадите отношению $A\subset B$ ?

12d3 · Сообщение **12d3** » 21 ноя 2016, 09:50

Anik писал(а):Source of the post какое словесное определение вы дадите отношению A\subset B ?

Я могу дать, причем сразу несколько. A является собственным подмножеством B, если A является подмножеством B и A не равно B.
A является собственным подмножеством B, если A является подмножеством B и B не является подмножеством A.
A является собственным подмножеством B, если любой элемент A принадлежит B и существует элемент, принадлежащий B, но не принадлежащий A.

Anik · Сообщение **Anik** » 21 ноя 2016, 11:08

Согласен, тогда в случае, если $A\subseteq B$ , нужно было дать такое словесное определение: А является подможеством В, если каждый элемент множества А является элементом множества В или все элементы множества В являются элементами множества А. Здесь или в не исключающем смысле, как это в общем-то и принято.
В этом случае определялось бы как подмножество, так и собственное подможество (которое вы определили в предыдущем посте).
Вот теперь, возникает снова вопрос: что за зверь такой собственное подмножество? Как задать классифицирующее (позвольте мне так его называть) свойство собственного подмножества? Это котята в корзине, но, в то же время, вне самой корзины? Это предметы, лежащие на данном столе, но без наличия самого стола, как такового? Чем отличается подмножество парнокопытных во множестве млекопитающих, от собственного подмножества парнокопытных во множестве млекопитающих?

12d3 · Сообщение **12d3** » 21 ноя 2016, 11:35

Anik писал(а):Source of the post А является подможеством В, если каждый элемент множества А является элементом множества В или все элементы множества В являются элементами множества А.

Это вы сейчас написали определение равенства множеств.

Anik писал(а):Source of the post Как задать классифицирующее (позвольте мне так его называть) свойство собственного подмножества?

Называть-то я не буду запрещать, но мне непонятно, что вы называете классифицирующим свойством. Если это такое свойство, что оно выполняется только для элементов данного собственного подмножества, а для всех остальных не выполняется, то такое свойство существует далеко не всегда. Ну, кроме тривиального свойства "принадлежит данному собственному подмножеству".

Anik писал(а):Source of the post Это котята в корзине, но, в то же время, вне самой корзины? Это предметы, лежащие на данном столе, но без наличия самого стола, как такового?

Боюсь, тут уже такие аналогии не помогут.

Anik писал(а):Source of the post Чем отличается подмножество парнокопытных во множестве млекопитающих, от собственного подмножества парнокопытных во множестве млекопитающих?

Подмножество парнокопытных среди млекопитающих является одновременно собственным подмножеством. А вот подмножество имеющих позвоночник в множестве млекопитающих не является собственным, так как совпадает с самим множеством млекопитающих.

Anik · Сообщение **Anik** » 21 ноя 2016, 11:46

12d3 писал(а):Source of the post Это вы сейчас написали определение равенства множеств.

Не согласен. Понятие или подразумевает выполнение или только левого условия, или только правого, или обоих вместе. Так вот, выполнение только левого условия не подразумевает равенства множеств.
С позвоночником вы здорово объяснили. Ставлю вам плюс.

Anik · Сообщение **Anik** » 22 ноя 2016, 05:29

ARRY и 12d3 Какую книгу вы бы порекомендовали мне (не слишком абстрактную) для начала изучения теории множеств?
Был бы весьма признателен, если бы вы иногда отвечали мне на возникающие вопросы по этой книге.

Anik · Сообщение **Anik** » 22 ноя 2016, 06:28

Вот у меня есть книга, которую я давно купил: "Математика метаматематики" Е Расёва, Р Сикорский, Москва 1972г.
Там на стр.17 написано:

Здесь не используется значок $\subseteq$ , Поэтому у меня и возникли непонятки. (Там внизу проглядывает кусок чёрточки, но это просто верхняя часть буквы из нижней строки, которая возникла при выделении фрагмента текста).

12d3 · Сообщение **12d3** » 22 ноя 2016, 22:59

Anik писал(а):Source of the post Не согласен. Понятие или подразумевает выполнение или только левого условия, или только правого, или обоих вместе. Так вот, выполнение только левого условия не подразумевает равенства множеств.

Пардон, ошибся. Однако ваше определение - это все равно не то, что нужно. Сравните с тем, что в вашей книжке.

Anik писал(а):Source of the post Какую книгу вы бы порекомендовали мне (не слишком абстрактную) для начала изучения теории множеств?

Как сожалению, я тут подсказать не могу. Может ARRY поможет.

Anik писал(а):Source of the post Здесь не используется значок , Поэтому у меня и возникли непонятки.

В разных книжках обозначения могут немного отличаться. Следуйте тем обозначения, которые введены в этой конкретной книге.

yourdomain.com