Что такое множество?

vipakoz · Сообщение **vipakoz** » 19 ноя 2016, 13:17

Anik писал(а):Source of the post Вы, наверное, хотели сказать: объективная реальность?

Да, конечно же так. Зачем переписывать законы физики в терминах информации?

Anik · Сообщение **Anik** » 19 ноя 2016, 13:42

ARRY писал(а):Source of the post Да, Anik, и ещё меня немного покоробило Ваше пренебрежительное недоверие:

12d3 в 16.11.2016, 15:42 написал(а): linkВообще в аксиоматике теории множеств все объекты по умолчанию являются множествами

Anik в 17.11.2016, 08:58 написал(а): linkЧто-то весьма сомнительно.
А почему по умолчанию? Вот в упомянутой книге Уайтхеда и Рассела (том 1) на стр. 14 читаем определение: "In set theory, any object is generally considered as a set".

"В теории множеств, любой объект, как правило, рассматривается как множество". Я правильно перевёл?
Если правильно, то какую роль тогда играет значок $\in?$

12d3 писал(а):Source of the post ...подмножество тоже может быть элементом множества. А может и не быть.
Примеры:
...
$\left \{ 3 \right \} \notin \left \{3,4\right \}$ , но $3 \in \left \{3,4\right \}$

3 это объект, элемент или множество? Допустим, мы определили множество, как множество учеников 5Б класса, конкретной школы на конкретную дату. В пятом "Б" классе есть ученик: Коля Сорокин. Этот ученик - объект, элемент или множество, по отношению ко множеству учеников в классе? Вот ответьте мне на этот вопрос.

vipakoz · Сообщение **vipakoz** » 19 ноя 2016, 15:08

Слегка офигел 1 класс!!

Множество. Элемент множества (математика 1 класс)InternetUrok.ru›matematika/1…s…mnozhestvo-element… Тема нашего сегодняшнего урока – множество и элемент множества. В жизни мы часто пользуемся этим словом, например: «Я решил множество примеров». ... Существует ли множество, состоящее из одного элемента?

Второе от чего я постоянно охреневаю. Как и в этом случае, чего народ голову морочит? Приятно "поговорить с умными людьми и ощутить себя умным?Сидеть в интернете и спрашивать на форуме: А правда, что 2*2=4? Это зачем?
Хочется узнать? Забей в поисковик что то типа https://yandex.ru/search/?text=%D0%BC%D0%BE...923020&lr=10751 и смотри, читай, разбирайся. Чего людям мозг делать беременным, маатериалом за первый класс? [url=http://interneturok.ru/matematika/1-klass/nachalnoe-znakomstvo-s-matematikoj/mnozhestvo-element-mnozhestva ]http://interneturok.ru/matematika/1-klass/...nozhestva [/url] Вот. Пожалуйста "первый раз в первый класс!!!" Если первый класс чересчур пимитивно вот более подходящий ресурс http://www.studfiles.ru/preview/4229246/
Хотьбы вопросы были реально интересными.Пусть глупость, но своя, или реальные непонятки как в "Длина" от Е61 Конечно в тысячный раз жевать СТО, надоело, но это всётаки похоже на познание, а не мозгоёбку.

ARRY · Сообщение **ARRY** » 19 ноя 2016, 17:33

Anik писал(а):Source of the post Аксиомы должны соответствовать реальности, тому, что есть в природе.

Я не сильно огорчу Вас, Anik, если отвечу, что не должны? Они лежат в основе оснований (хм, масло масляное )математики. Они должны обеспечивать непротиворечивость фундаментальных математических теорий, Также обеспечивать структуру математических теорий и математических доказательств, используя исключительно формальные методы. Во многом это абстракция, а методом этой абстракции является мат. логика.
Основания математики не носят прикладной характер, хотя её выводы могут использоваться (и используются) в практической деятельности.

Anik писал(а):Source of the post Почему-то геометрия Евклида с успехом применяется в практической деятельности и не приводит к нечёткости, двусмысленности и парадоксам.

Кто спорит? Но в том то и дело, что аксиоматика теории множеств и основания математики :
во-первых, обеспечивают независимость евклидовых аксиом (а сам Евклид думал об этом?),
во-вторых, даёт точное определения доказательства (а думал ли об этом Евклид?),
в-третьих, доказывает те самые теоремы дедукции ( а у Евклида теоремы дедуктивно выводятся из аксиом автоматически).
Ещё раз повторю, что основания математики - это набор формальных систем и правил, ничего общего с прикладной математикой не имеющее.
Не претендуя на полноту знаний, естественно могу ошибаться в формулировках. Но в принципе - уверен.

ARRY · Сообщение **ARRY** » 19 ноя 2016, 17:50

Anik, для начала вернёмся к предложенным Вам примерам. При их решении не надо изгаляться и проявлять олимпиадную изворотливость. Надо всего лишь твёрдо знать аксиомы теории множеств.

ARRY писал(а):Source of the post Скажите, какие из этих утверждений являются истинными, а какие - ложными. 1. $\{ 0, 11,-5\}\subseteq \{6,0,18,11,-7,-5\}$
2. $\{ 0, 11,-5\} \subset \{6,0,18,11,-7,-5\}$
3. $\{ 0, 11,-5\} \in \{ 6,0,18,11,-7,-5\}$
4. $\varnothing \subseteq \varnothing$
5. $\varnothing =\{ \varnothing \}$
6. $\varnothing \in \varnothing$
7. $\varnothing \in \{ \varnothing \}$
8. Дано множество $P=\{ -5, 0, 18, 8, \{ 1, 2\} \}$ . Чему равна - мощность этого множества?

Примеры 1 и 2 истинны, как Вы правильно сказали.
Утверждение 3 ложно, т.к. множество $\{ 0, 11,-5\}$ не является элементом множества $\{ 6,0,18,11,-7,-5\}$ . Истинным бы было такое: $\{ 0, 11,-5\} \in \{ 6,\{ 0, 11, -5\} 18,11,-7,-5\}$ . Кстати, обратите внимание, что здесь 11 - элемент как левого множества, так и правого. А вот 0 элемент только левого множества, которое само является элементом правого (элементом(!), но не подмножеством).
4. Здесь Вы правы, аксиома утверждает, что пустое множество является подмножеством любого множества.
5. А об этом уже писал 12d3. Поэтому повторюсь. Равенство неверно. Множество $\varnothing$ не содержит ни одного элемента, множество же $\{ \varnothing \}$ содержит один элемент. Как бы это лучше объяснить. Ссылка на формальную аксиому Вас вряд ли устроит. 12d3 предложил корзинки. Отлично, множество со своими элементами - это корзинка с содержимым. Пустое множество $\varnothing$ - это пустая корзинка, а вот множество $\{ \varnothing \}$ - это корзинка, в которую вставлена другая корзинка. Согласитесь, что пустая корзинка и непустая корзинка, в которой что-то есть, - это всё-таки разные корзинки.
6. Ложно. Пустое множество согласно аксиоме не может содержать ни одного элемента.
7. По приведённым выше соображениям это как раз истинно.
8. Множество $$P$$

состоит из 5 (а не 6) элементов, а именно: $$ -5, 0, 18, 8$$

и множества $\{ 1, 2\}$ . Значит его мощность равна $$|P|=5$$

.
На остальные вопросы отвечу позже.

ARRY · Сообщение **ARRY** » 19 ноя 2016, 21:32

Anik писал(а):Source of the post допустимо ли рассматривать подмножество некоторого множества как его элемент?

Anik, вполне допустимо. Вы же сами приводите пример:

Anik писал(а):Source of the post Допустим, мы определили множество, как множество учеников 5Б класса, конкретной школы на конкретную дату. В пятом "Б" классе есть ученик: Коля Сорокин. Этот ученик - объект, элемент или множество, по отношению ко множеству учеников в классе? Вот ответьте мне на этот вопрос.

Коля является элементом множества учеников класса. Допустим, Вы хотите определить подмножество мальчиков по имени Коля на множестве учеников класса. И если окажется, что в классе он единственный, то Коля будет элементом подмножества учеников по кличке Коля, оставаясь при этом элементом множества учеников класса. При этом подмножество учеников по имени Коля также имеет место быть и состоит из одного элемента - оно-то как раз и будет выглядеть {Коля}. Не надо искать в этом некий физический смысл или соответствие с реальностью. Это - определения аксиоматики теории множеств.
Подмножество рыжих этого класса тоже может состоять из одного элемента. Но само это подмножество не является элементом множества учеников класса. В классе, допустим, 30 учеников, значит множество учеников класса содержит 30 элементов. И всё!!! Никаких других.

Anik писал(а):Source of the post Очевидно, само подмножество должно иметь какое-то свойство, которое позволяло бы рассматривать (или не рассматривать) его как элемент множества. А если такого свойства нет, то становится совершенно непонятно в каких случаях допустимо рассматривать подможество как элемент, а в каких - нет.

В этих двух случаях я привёл т.н. коллективизирующий (слово-то какое - и не выговоришь!) признак подмножества - имя "Коля" или "рыжий". Но этого может и не быть. Вспомните способы задания множеств. Вы же видели, что они достаточно произвольны. Вот же 12d3 Вам уже ответил:

12d3 писал(а):Source of the post Возможно, вы считаете, что по какому-то правилу подмножества можно назвать элементом, не глядя на остальные элементы, но это не так. Подмножество может только совпасть с каким-то другим элементом.

А вот это Ваше заключение - серьёзная ошибка:

Anik писал(а):Source of the post Получается тогда, что множество учеников класса является элементом класса (т.е. множества учеников в классе)? Другими словами: множество элементов содержит себя в качестве элемента этого же множества (множество, являющееся элементом самого себя)?

Это в корне неверно. Этого не допускает аксиома основания (её иначе называют аксиомой регулярности), которая утверждает, что в любой совокупности множеств существует множество, каждый элемент, которого не принадлежит данной совокупности. Аксиома довольно неочевидная, и с первого раза непонятная (и со второго тоже!), но из неё есть следствие (которое, кстати, выводится дедуктивно). А следствие такое: Не существует множества, являющегося элементом самого себя. Но ничто не мешает множеству быть подмножеством самого себя - а вот это уже следует из определения подмножества.

Anik · Сообщение **Anik** » 20 ноя 2016, 08:49

Хочу немного "погнать волну".
Наличие парадоксов теории множеств, приводит к тому, что некоторые философы начинают говорить:

В парадоксах теории множеств вылез наружу не математический (в узком смысле) кризис, но кризис основания всей логики Нового времени, логики, чьё содержание неявно всегда развивалось в русле математических идеализаций. Перед нами – снова – категорический императив логики. И может быть, наибольшая трудность (неразрешимость) теоретико-множественных парадоксов в том и состоит, что парадоксы эти пытаются решать как узкоматематические или (и) как формально-логические. Между тем, эвристическая творческая сила этих парадоксов обнаруживается только в процессе «сдирания» с них узкоматематической и математико-логической формы и переформулировки их как коренных парадоксов всей логической культуры нового времени.

«Мышление как творчество», В.С. Библер, Москва 1975г Этот философ предлагает логику снова считать частью философии, но «переформулировать» и разрешать эти парадоксы он и не пытался.
Чтобы разрешить парадокс Рассела, математики не придумали ничего менее примитивного, чем запретить такое понятие как "множество, являющееся элементом самого себя". Другими словами, множество не содержит самого себя в качестве элемента. Это даже в том случае, когда множество представлено всего одним элементом.

ARRY писал(а):Source of the post Этого не допускает аксиома основания (её иначе называют аксиомой регулярности), которая утверждает, что в любой совокупности множеств существует множество, каждый элемент, которого не принадлежит данной совокупности. Аксиома довольно неочевидная, и с первого раза непонятная (и со второго тоже!),

Она не только непонятна, она еще расплывчата, т.е. не определена. Что такое совокупность и чем она отличается от множества? Если множество и совокупность синонимы, то: в любом множестве множеств существует множество, каждый элемент которого не принадлежит данному множеству множеств. Совокупность множеств, это, как я понимаю, есть множество множеств.
Предположим, что конкретное множество множеств, представляет собой единственное множество. (Ведь сказано, что в любом множестве множеств). Тогда в этом данном конкретном множестве, каждый элемент этого множества не принадлежит данному множеству? Как это? Получается, что любое множество содержит все свои элементы которые ему не принадлежат?

vipakoz · Сообщение **vipakoz** » 20 ноя 2016, 10:23

Anik писал(а):Source of the post Как это? Получается, что любое множество содержит все свои элементы которые ему не принадлежат?

Вроде всё логично: "мой вассал не твой вассал" Сбой логики такого типа встречается относительно часто. Например такое попадалось: "Кирпичи делают из глины. Дом делают из кирпичей. Следовательно, дом строят из глины." Прикололся: "Хорошо, пусть так. На кирпич для дома ушло 3 Камаза глины. Привожу вам на строй площадку, 3 самосвала глины, вывыливаю в одну кучу, всё, дом готов,- заселяйся." Вам надо рассматривать множество как систему, а не совокупность - неупорядоченную кучу, и всё встанет на свои места. Ещё пример из практики общения. Средний химический состав человека; Углерод - 12,6 килограмма
Кислород - 45,5 килограмма
Водород - 7 килограммов
Азот - 2,1 килограмма
Кальций - 1,4 килограмма
Натрий - 150 граммов
Калий - 100 граммов
Магний - 200 граммов
Хлор - 200 граммов
Фосфор - 0,7 килограмма
Сера - 175 граммов
Железо - 5 граммов
Фтор - 100 граммов Значит ли это, что это множество химических элементов помещённое в границы множества в виде герметичной ёмкости, станет человеком? Ответ очевиден. Всё просто.

vipakoz · Сообщение **vipakoz** » 20 ноя 2016, 10:50

Кстати, Е 61 умудрился в суждении Re: Существует ли логическое объяснение постоянства скорости света в любых ИСО сделать ту же ошибку. Три ортогональных направления в физическом пространстве произвольным образом объединил в одно и прстроил в этому "монстру" ортогонально 4-ый. И теперь пытается с этим работать иммитируя логичные построения "Эта модель была создана для ответа на вопрос " Почему скорость света для любой ИСО величина постоянная, а частота ( эффект Доплера ) различна ? " Ясное дело, ничего из этого, в реальности, не получится. Будет очередная глупость т.е. суждение алогичное и непоследовательное. Я ждал, что кто то из начитанных, коих там не меряно, объяснит в чём ошибки построения, увы, никто не взялся. Вместо этого появился ещё один "свободный исследователь: "Попытка совместить с логикой.
Движущийся вместе с нами заряд не рождает магнитное поле. А другой наблюдатель, движущийся относительно нас, обнаружит маг.поле этого заряда. Значит, электромагнитные явления мы видим своим определенным образом. В нашем теле, в нашем мозгу, в наших измерительных приборах (в составляющих нас и неподвижных относительно нас атомах) эл-маг.явления происходят с одной определенной скоростью. И тогда скорость света мы всегда измерим как с."
Буду посмотреть, что ему расскажут, здесь то точно собственными логическими построениями и не пахнет, достаточно иметь сведения о физике и её законах.

Anik · Сообщение **Anik** » 20 ноя 2016, 15:58

Эх... Во многих знаниях многие печали. Не хотят меня понимать.

"Определение. Пусть A и B - какие-то два множества. Если любой элемент x множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B и обозначают этот факт следующим образом или .
Это же определение можно переписать на языке кванторов
"если элемент x принадлежит множеству A, то x принадлежит множеству B". Из введенного определения очевидно следует утверждение, если и , то A = B, т.е. множества A и B состоят из одних и тех же элементов".

Ну не соответствует символьная запись: $A\subseteq B$ , словесной формулировке определения! Ведь нужно подключить подразумевания, чтобы понять, что отношение $\subseteq$ означает не только включение, но и равенство множеств. А в словесной формулировке о равенстве множеств не упоминается. Словесной формулировке исходного определения соответствует значок $A\subset B$ .
А вот значку $A\subseteq B$ соответствует такое определение: если любому элементу множества A соответствует элемент множества B или (любому элементу множества A соответствует элемент множества B и любому элементу множества B соответствует элемент множества A), то говорят, что множество A является подмножеством множества B.
На языке кванторов это запишется так:
$(A\subseteq B)\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B)\vee [(x\in A\Rightarrow x\in B)\wedge (x\in B\Rightarrow x\in A)]$
Потому, что (А включено в В) или (А равно В).
Неужели этого не видно невооружённым глазом?

yourdomain.com