Формулы для решения Диофантовых уравнений.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 08 дек 2015, 12:43

Вот нашёл одну статью - тут вообще целые профессора индуские отжигают.
http://www.ijeter.everscience.org/Manuscripts%5CVolume-3%5CIssue-2%5CVol-3-issue-2-M-10.pdf http://www.ijeter.everscience.org/Manuscri...ssue-2-M-10.pdf
У меня конечно лучше получается. Только я похожее решал, но смысл решения одинаковый.
http://www.artofproblemsolving.com/community/c3046h1055253_the_system_of_equations_15 http://www.artofproblemsolving.com/communi...of_equations_15
То не знаешь, что решать, то сразу несколько уравняшек появляется.
Посмотрю как эту систему лучше решить - у меня там почему то одно число отрицательным получается.

12d3 · Сообщение **12d3** » 08 дек 2015, 13:16

individ.an писал(а):Source of the post Вот нашёл одну статью - тут вообще целые профессора индуские отжигают.

И действительно. Треш какой-то.

individ.an писал(а):Source of the post Посмотрю как эту систему лучше решить - у меня там почему то одно число отрицательным получается.

В формулировке этих индусов числа могут быть и отрицательными, главное чтоб ненулевыми и различными.

individ.an писал(а):Source of the post Для алгебраического уравнения 5-й степени нельзя написать формулу решения, а Вы хотите чтоб я решил более сложное?

Нуу, если рассматривать это уравнение как алгебраическое, то оно легко решается. А что позволяет или не позволяет ваш метод - откуда я знаю.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 09 дек 2015, 12:59

Значит эта системка.
$\left\{\begin{aligned}&a+b+N=x^2\\&a+c+N=y^2\\&b+c+N=z^2\\&a+b+c+N=w^2\end{aligned}\right.$
Я сперва нашёл такое решение.

$$a=-t(2t^2+3t+k^2+1-N)$$

$c=(t^2+t+\frac{(k-1)^2-N}{2})(t^2+t+\frac{(k+1)^2-N}{2})$

$$x=k$$

$y=t^2+\frac{k^2-1-N}{2}$

$z=t^2+2t+\frac{k^2+1-N}{2}$

$w=t^2+t+\frac{k^2+1-N}{2}$

Это мне решение не очень понравилось. И я нашёл такое.

$$a=(3q+p+3s+1)$$

$b=(41q^2+14qp+50qs+17s^2+10ps+27q+4p+15s+\frac{3p^2+9-N}{2})$ $(369q^2+126qp+450qs+153s^2+90ps+219q+38p+135s+\frac{27p^2+65-9N}{2})$

$$c=(82q^2+28qp+100qs+34s^2+20ps+41q+7p+25s+3p^2+5-N)$$

$x=123q^2+42qp+150qs+51s^2+30ps+82q+14p+50s+\frac{9p^2+27-3N}{2}$

$$y=164q^2+56qp+200qs+68s^2+40ps+96q+17p+60s+2(3p^2+7-N)$$

$z=205q^2+70qp+250qs+85s^2+50ps+120q+20p+72s+\frac{5(3p^2+7-N)}{2}$

$w=205q^2+70qp+250qs+85s^2+50ps+123q+21p+75s+\frac{15p^2+37-5N}{2}$

Вот это другое дело. Число $$N$$

задаётся условием задачи и может быть любым.

Shadows · Сообщение **Shadows** » 11 дек 2015, 08:26

individ.an писал(а):Source of the post Вот это другое дело.

Нет, не другое. И то, и другое, да и сама "система" - идиотизм. Какая тут система, очевидно же, что $w^2-x^2=c,\;w^2-y^2=b,\;w^2-z^2=a$ и просто остается уравнение $$x^2+y^2+z^2-2w^2=N$$

, где, надо понимать, N-константа. Выписывать "решения" для a,b,c - кретинизм, конечно, а решать уравнение, где так много свободы - глупо, по крайней мере одна переменная - лишняя. Но если очень хочется, конечно можно - решение, основанное на факторизации: $\\ \forall x,t \in \mathbb{Z}:\;2t^2+x^2-N \not\equiv 2 \pmod 4\\ \\ \;y=\frac{d_1-d_2}{2},\;z=\frac{d_1+d_2}{2}+2t,\;w=\frac{d_1+d_2}{2}+t$
где $d_1d_2=2t^2+x^2-N,\quad d_1\equiv d_2\pmod 2$
Первое "решение", которое индивид "нашел" - частный случай данного при $$d_2=1$$

. Объяснять ему, что не все числа простые - бесполезно. Не поймет.
Второе "решение" - тут коментар лишний, только можно заметить, что "y" и "N" всегда будут разной четности. А все переменные и константа могут быть одной четности.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 11 дек 2015, 13:06

Кретинизм или не кретинизм, но зачем то им эта система нужна была.
Надо будет этим индусам сказать, что они кретины!
Ну да - свести надо к уравнению.
$$x^2+y^2+z^2=2w^2+N$$

Что я конечно и сделал.
Там просто надо было найти такое $$w$$

чтоб было больше чем числа $$x,y,z$$

Чтоб наши числа были положительными.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 11 дек 2015, 15:33

Увидел там эту уравняшку.
http://mathoverflow.net/questions/225572/on-cubic-reciprocity-for-x3y3z3-996/225859#225859 http://mathoverflow.net/questions/225572/o...6/225859#225859
$$x^3+y^3+z^3=3w^3$$

С не совсем умным видом туды завалился и давай формулку рисовать.

$$x=4(3538p^3+(174s+2088k)p^2+(411k^2+66ks+9s^2)p$$

individ.an · Сообщение **individ.an** » 13 дек 2015, 11:15

Этот тип меня заколебал. Одно и то же уравнение раз 50 описывает.
Сколько ему формул не рисовал - все не устраивают. Надоел уже.
http://mathoverflow.net/questions/225781/fricke-klein-method-for-isotropic-ternary-quadratic-forms/225995#225995 http://mathoverflow.net/questions/225781/f...s/225995#225995
Значит уравнение.

$$A(x^2+y^2+z^2)=B(xy+xz+yz)$$

Знаем коэффициент $$A$$

- установим сами число $$c$$

Разложим на множители число. $$c^2+A=ab$$

Тогда другой коэффициент будет равен $$B=a^2+b^2-2(a+b)c+3c^2$$

Формулу можно написать сразу.

$$x=c(ab-c^2)(k^2+s^2)+((a+b)(a^2+b^2)-(4a^2+5ab+4b^2)c+7(a+b)c^2-$$

Вот, что можно сделать если использовать три независимых параметров. Как надо искать для нужных нам коэффициентов $$A,B$$

параметры

надеюсь объяснять не надо?

omega · Сообщение **omega** » 13 дек 2015, 19:11

individ.an писал(а):Source of the post Увидел там эту уравняшку. http://mathoverflow.net/questions/225572/o...6/225859#225859

Я посмотрела там твоё решение. Меня удивил комментарий одного юзера:

Parametrisations of the rational solutions to x^3 +y^3 +z^3 =t are well-known, see for example page 1 of Manin's book on cubic forms. This question is about integer solutions, which is a different problem and much more difficult.

Не поняла, чего ему не хватает-то? Твои формулы как раз и дают бесконечную серию целочисленных решений. А он пишет, что рациональная параметризация давно известна, а вот решить в целых числах значительно сложнее.
Ну, это я так перевела, а может, он и не то совсем сказал.
Тебя на форуме Math Help Planet тоже забанили что ли?
Во блин!!! Как не в своей стране живём Будем через иностранные форумы сообщения читать своих людей.
Я там тему открыла об этом уравнении, оно меня заинтересовало. Попутно узнала о решении задачи о четырёх кубах, в которой наш Георгий отличился. Вот и Георгий отсюда давно слинял, а на MHP участвует.
Твои формулы проверила для некоторых значений параметров, все решения получились правильные.
Всех там спрашиваю-спрашиваю: есть ли альтернативная формула (для твоей); все молчат, как партизаны.
В общем, ты тему почитай, если писать тебе там нельзя:
http://www.mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=51&t=45672 http://www.mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=51&t=45672
P.S. Кстати, спасибо тебе за ссылку на тот иностранный форум. Я там тоже вопросик запостила о магическом тессеракте. Иностранцы вроде ничего, спокойно отнеслись, гнилыми помидорами не стали забрасывать, даже две бронзовые медали выдали сразу
Ну, решить-то задачу они вряд ли решат, по крайней мере, подумают.
http://mathoverflow.net/questions/225907/magic-tesseract-of-order-3-composed-of-prime-numbers http://mathoverflow.net/questions/225907/m...f-prime-numbers

individ.an · Сообщение **individ.an** » 14 дек 2015, 05:17

На Матхелпланет меня давно забанили. По просьбе Шведки. Хотя ну её в болото!
Что же касаемо уравнения. Мой один знакомый сайт имеет - там собирает тоджества всякие кто когда найдёт.
https://sites.google.com/site/tpiezas/https://sites.google.com/site/tpiezas/
Если выяснить надо есть ли какие решения там надо посмотреть. Довольно забавные формулки есть.
В большинстве своём народ эти формулы нашёл догадкой или заметил красивую подстановку.
Хотя мои формулы он тоже не очень любит - поэтому их вроде игнорирует.
Можно заметить, что там формулки маленькие, а мои очень громоздкие.
Что же касаемо буржуинового форума. Там будьте крайне осторожны. Если, что разместите в соседних темы.
http://math.stackexchange.com/http://math.stackexchange.com/
http://mathematica.stackexchange.com/http://mathematica.stackexchange.com/
Вообще то там собираются профессиональные математики. И они очень не любят любителей.
Рейтинг по началу могут чуть поднять. Вообще то там с этим беда. Они подымают только своим. Легко можно увидеть как на вообще не за ответ резко подымают одним, а другим понижают.
К тому же профессионалы очень не любят формулы и цифры. Это для них как красная тряпка. Любят очень когда философию человек разводит и стрелочки со знаками и диаграммами рисует.
Попросите решить какое то уравнение - всё! Минусы обеспечены.
Поэтому если надо решить уравнение - лучше этот вопрос на соседних форумах задать. Тем более там просто надо активировать свою учётную запись.
Что меня больше всего раздражает - найдёт кто-то формулку. И все начинают кричать как всё там замечательно и какой он хороший. Хотя часто тривиальшину человек пишет.
А ты там стараешься выводишь сотни формул. И ни чего - все только ругают.
Хотя если просто посмотреть на формулы - просто сравнить их сложность ....
Проблема в этом. Они поддерживают только своих. И если видят в человеке приверженца других идей - начинают бороться с ним.

Shadows · Сообщение **Shadows** » 14 дек 2015, 08:23

omega писал(а):Source of the post Не поняла, чего ему не хватает-то? Твои формулы как раз и дают бесконечную серию целочисленных решений. А он пишет, что рациональная параметризация давно известна, а вот решить в целых числах значительно сложнее.

Omega, Вы внимательно прочитали пост топикстартера? Человек пишет, что для уравнения $$x^3+y^3+z^3=3w^3$$

, ГДЕ

, знакомы только две решения (1,1,1) и (4,4,-5). Есть ли другие? Повторяю, где $$w=1$$

Тоесть, его интересует уравнение $$x^3+y^3+z^3=3$$

в целых числах.
Иначе уравнение $$X^3+Y^3+Z^3=3W^3$$

в целых числах, делением на $$W^3$$

, конечно же сводится к $$x^3+y^3+z^3=3$$

в рациональных числах
И Daniel Loughran обясняет индивиду (вот оптимист ), что параметризация данного уравнения в рациональных числах хорошо известна.(И не только для 3 - в правой части, но и для любого рационального t). Но помочь это никак не может.(при каких значений параметров получится W=1???) И индивид, как всегда, в неадеквате.
А если и Вам как индивиду нравятся тупые неполные решения - пожалуйста. Хотя бы имеют человеческий вид:
$\\X=q(3p^2+3pq+2q^2)/2 \\ Y=p(2p^2+3pq+3q^2)/2 \\ Z=-(p+q)(2p^2+pq+2q^2)/2\\ W=pq(p+q)/2$
p,q - взаимнопростые.

yourdomain.com