Формулы для решения Диофантовых уравнений.

Shadows · Сообщение **Shadows** » 08 сен 2015, 19:20

Так, первая "параметризация" дала 0 решений, вторая - целых два! Поздравляю!
Осталось самая малость - еще 14. Правильно ли понимаю, что для любого решения нужна отдельная "параметризация"?

TR63 · Сообщение **TR63** » 09 сен 2015, 05:30

Да, individ, Вы писали, что все Ваши формулы при подстановке в уравнение дают тождество. Первая формула тоже даёт тождество? Я не проверяла. На форуме " Альтернативная наука" как-то проверила. Тождества при всех параметрах не получилось (может, ошиблась; бывает; тему прикрыли по техническим причинам; вопрос остался невыясненным). Сейчас опять возник этот вопрос (опять циферки, а считать ...тема-то Ваша; устроит краткий ответ типа "да", "нет").

Shadows · Сообщение **Shadows** » 09 сен 2015, 07:34

Мда, пара решений - не густо. Даже школьник, принявший для удобства $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%3Dy%24%24" alt="$$x=y$$" title="$$x=y$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$

получит больше. С индивидом все и так было ясно с самого начала.
Для натуральных $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%2Cy%24%24" alt="$$x,y$$" title="$$x,y$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$

, при условии $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5Cge%20y%24%24" alt="$$x\ge y$$" title="$$x\ge y$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ , верно

. И следовательно натуральные решения системы могут быть только при $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24z%3Dx%2B2%2C%5C%3Bz%3Dx%2B4%24%24" alt="$$z=x+2,\;z=x+4$$" title="$$z=x+2,\;z=x+4$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$
Для отрицательных тоже нетрудно получить ограничение. Даже если оба отрицательные, равносильно в натуральных $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5E2-6%28x%2By%29%3Dz%5E2%24%24" alt="$$x^2-6(x+y)=z^2$$" title="$$x^2-6(x+y)=z^2$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$

, при условиях $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5Cge%20y%2C%5C%3Bx%5Cge%202k%24%24" alt="$$x\ge y,\;x\ge 2k$$" title="$$x\ge y,\;x\ge 2k$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$

$<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%242k-3%3D3%5Cfrac%20y%20x%2B%5Cfrac%7B2k%5E2%7D%7Bx%7D%20%5Cge%203%2Bk%24%24" alt="$$2k-3=3\frac y x+\frac{2k^2}{x} \ge 3+k$$" title="$$2k-3=3\frac y x+\frac{2k^2}{x} \ge 3+k$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$
$<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24k%5Cge%206%24%24" alt="$$k\ge 6$$" title="$$k\ge 6$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$
причем

достигается только при $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%3Dy%3D2k%3D12%24%24" alt="$$x=y=2k=12$$" title="$$x=y=2k=12$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$

Значит, все нетривиальные решения ( $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%2By%20%5Cne%200%24%24" alt="$$x+y \ne 0$$" title="$$x+y \ne 0$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ ), при условии $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%7Cx%7C%5Cge%20%7Cy%7C%24%24" alt="$$|x|\ge |y|$$" title="$$|x|\ge |y|$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ получатся при $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24z%3Dx%2B2%2C%5C%3Bx%2B4%2C%5Ccdots%2Cx%2B12%24%24" alt="$$z=x+2,\;x+4,\cdots,x+12$$" title="$$z=x+2,\;x+4,\cdots,x+12$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$
1)

Подставляем во втором уравнении
$<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%5E2%2B6%282-2y%29%3Dr%5E2%24%24" alt="$$y^2+6(2-2y)=r^2$$" title="$$y^2+6(2-2y)=r^2$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$

Факторизацией $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%2424%24%24" alt="$$24$$" title="$$24$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$

получаем решения с учетом $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%7Cx%7C%5Cge%7Cy%7C%2C%5C%3Bx%2By%5Cne%200%20%5Cquad%20%28y%2Cx%29%3D%2813%2C-37%29%3B%28-1%2C5%29%3B%2811%2C-31%29%24%24" alt="$$|x|\ge|y|,\;x+y\ne 0 \quad (y,x)=(13,-37);(-1,5);(11,-31)$$" title="$$|x|\ge|y|,\;x+y\ne 0 \quad (y,x)=(13,-37);(-1,5);(11,-31)$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$
Аналогично решаются остальные случаи, напишу только ответы:

Надеюсь, ничего не пропустил. Совсем, совсем несложно.
Индивид сделал точно то, что я ожидал, сделал все возможные глупости, которых ожидал, сел в лужу, как ожидал...и начал ныть, вертется и оправдыватся, как ожидал.
Потом напишу решение "общей" системы (где с буковками, не с циферками) и посмотрим что к чему.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 09 сен 2015, 07:48

TR63 писал(а):Source of the post Да, individ, Вы писали, что все Ваши формулы при подстановке в уравнение дают тождество. Первая формула тоже даёт тождество? Я не проверяла. На форуме " Альтернативная наука" как-то проверила. Тождества при всех параметрах не получилось (может, ошиблась; бывает; тему прикрыли по техническим причинам; вопрос остался невыясненным). Сейчас опять возник этот вопрос (опять циферки, а считать ...тема-то Ваша; устроит краткий ответ типа "да", "нет").

Абсолютно все мои формулы при подстановке в уравнения дают тоджество. Иначе быть не может. Тогда уравнение решено не правильно.
Все решения перепроверяю перед размешением. И другие то же проверяют.
Вроде пока нигде ошибок не нашёл. Если где то будут проблемы скажите.

Что же касаемо комментариев Shadows.
Хорошо виден его подход в решении. Какая та кустарщина и примитив. Он уравнение не решает, а циферки ищит.
Я никогда так не поступаю. Уравнения именно решаю.
Что же касаемо решений - я для примера привёл два решения, чтоб показать как это надо делать. Я вроде не собирался все циферки выписывать.
Хотя я давно на него необращаю внимание. Он всё равно будет считать мой метод плохим.

Shadows · Сообщение **Shadows** » 09 сен 2015, 10:01

Что касается ситемы
$\\X^2+Q(X+Y)=Z^2\\ Y^2+Q(X+Y)=R^2$
где все переменные, то это очень легкая система однородных уравнений второго порядка. Исключим тривиальные $X+Y=0,\;Q=0$ , делением, например на $Q^2,\;Q\ne 0$ и заменой $x=\frac X Q,\cdots ,r=\frac R Q$
сводится к
$\\x^2+x+y=(x+a)^2\\ y^2+x+y=(y+b)^2$
где (a,b) - параметры
В итоге получается система линейных уравнений и делать больше нечего.
$x=\frac{a^2-b^2-2ba^2}{2(2ab-a-b)}$
симетрично для игрека, будем людьми, приведем под общий знаменатель, чтобы не плодить параметры, $a=\frac m s,\;b=\frac n s$
в итоге:
$\\X=(m^2s-n^2s-2m^2n)\frac{t}{\Delta}\\ Y=(n^2s-m^2s-2n^2m)\frac{t}{\Delta}\\ Q=2s(2mn-ms-ns)\frac{t}{\Delta}\\ \\ m,n,t\in \mathbb{Z},\;s\in\mathbb{N},\;gcd(m,n,s)=1$
Полная параметризация. Никогда не буду ныть, когда меня спросят при каких значений параметров получается та или иная тройка (точнее, пятерка). Потому что я обозначил $z=x+a,\;r=y+b$
и, поверьте на слово, при заданных $$x,y,z,r$$

, найду

Потому что знаю что делаю, (и не крою волшебный метод "школьная арифметика") а кто не знает что делает, садится в лужу, потому что, по всей видимости, секретный метод секретеный и для него. Таких параметризаций, конечно можно сделать сколь угодно, и все они будут полными, и толк от них одинаков. Другое дело, что из параметризации нельзя решить систему при заданном Q.
Нечто может и найдется, но никогда не может быть уверенности, что там все. Пример свежий.
Потому что искать надо не как дурак, когда по формулам получается Q=6, а когда 6X (и 6Y) делятся на Q. Задача в лучшем случае такой же сложности.
Очень смешно (или грустно), когда он начал писать "если воспользуемся уравнением Пелля....=1, то решениями будут...".
Когда некоторую задачу трудно решить в целых, но легко в рациональных. Гениальная же идея, как никому в голову не пришла! Если знаменатель рациональной дроби равен единице, то она - целое! (Примерно через полгода дошло, что если знаменатель равен -1, то дробь опять будет целое, с тех пор начал писать $\cdots =\pm 1$ )
Но вот беда! Если знаменатель дроби равен сто пятидесяти, а числитель делится на 150, то опять будет целое. (это еще не дошло). И придется решать много, много, много уравнений Пелля.
Уровень такой...увы.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 09 сен 2015, 10:54

Ну что скажешь. Пока идёт всё как надо.
Я говорил, что нужны только алгебраические методы - вот всё к этому идёт.
Система лёгкая - поэтому некоторые замены у них проходят. Можно ещё рассмотреть и другие варианты если система более сложная.
Хотя, что он там возмущается не могу понять.

Shadows · Сообщение **Shadows** » 09 сен 2015, 12:06

individ.an писал(а):Source of the post Хорошо виден его подход в решении. Какая та кустарщина и примитив. Он уравнение не решает, а циферки ищит.

Ну, решения там написаны, люди сами разберутся кто решал уравнения и кто (и как) искал "циферки". (хотя, для тех кто ставил вам плюсы, не гарантирую)

individ.an · Сообщение **individ.an** » 09 сен 2015, 12:45

Какой то бессмысленный спор. Что хочет этот человек не понимаю.
Ясно же, что алгебраические методы позволяют решить уравнения довольно просто.
Кричать на формулы, что они плохие - потому, что их вывел другой человек - просто глупо.
Задачу можно решить разным подходом. И по моему всегда надо чтоб были несколько вариантов.
Если какой то подход более сложен - это не значит, что он плохой. Может для более сложных уравнений он себя оправдает.

TR63 · Сообщение **TR63** » 09 сен 2015, 13:55

Shadows, никто не сомневается в Ваших способностях решать уравнения. (Заметила, у Вас, возможно, проблемы с русским языком (Вы не понимаете контекста; учту), но это к делу не относится.
Всем известна проблема неполноты решений ТС.
individ. an, вполне понятно возмущение Shadows. Вы в последнем примере говорите, что привели формулы, дающие частные решения. Но первая формула решений не даёт. Зачем её тогда приводить и не приводить те, которые дают решения и, вроде, Вам известны.
Далее, говорите, что доказали ограниченность количества решениий. Непонятно, откуда это следует.

TR63 · Сообщение **TR63** » 09 сен 2015, 14:06

TR63 писал(а):Source of the post Shadows, никто не сомневается в Ваших способностях решать уравнения. (Заметила, у Вас, возможно, проблемы с русским языком (Вы не понимаете подтекста; учту), но это к делу не относится. Всем известна проблема неполноты решений ТС. individ. an, вполне понятно возмущение Shadows. Вы в последнем примере говорите, что привели формулы, дающие частные решения. Но первая формула решений не даёт. Зачем её тогда приводить и не приводить те, которые дают решения и, вроде, Вам известны. Далее, говорите, что доказали ограниченность количества решениий. Непонятно, откуда это следует.

Сделала исправление.

yourdomain.com