Формулы для решения Диофантовых уравнений.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 22 фев 2015, 11:17

omega писал(а):Source of the post Мне, к примеру, ваш метод нужен, как рыбке зонтик. И разгадывать его не собираюсь. Я уже увидела, какие решения даёт ваш метод. Мне достаточно.
Носитесь со своим методом, как мартын с балалайкой.

Замечательно тогда!
На одного человека меньше - кто будет мне мешать!

12d3 · Сообщение **12d3** » 22 фев 2015, 12:13

individ.an писал(а):Source of the post Максимально больше решить уравнений,

Так вы ж ни одного не решили. Решить - это значит найти все корни и доказать, что других нет.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 22 фев 2015, 16:51

12d3 писал(а):Source of the post Так вы ж ни одного не решили. Решить - это значит найти все корни и доказать, что других нет.

Да не может быть! Правда?
Вот тут у меня один знакомый есть. Он сайт один курирует - собирает различные тождества известные людям.
https://sites.google.com/site/tpiezas/https://sites.google.com/site/tpiezas/
Оказывается каждое такое имеет собственное имя. И часто получаются угадыванием. Или там каким то прозрением.
Конечно никакие вопросы о полноте им никто не задаёт!
Мордела книжку что ли почитали?
Для очень многих уравнений он только ищет чуть ли численные решения. Иногда просто рассматривает их существование.
Часто до формул дело даже не доходит. Описывает условия где надо их искать.
Или Серпинского что ли почитали?
Часто приводит такие решения - которые иначе как угадывания не назовёшь!
Действительно у него было несколько сотрудников которые играли с тождествами. Видели закономерность и строили из них уравнения.
Я просто поражён - эти не математические методы не вызывают бурную реакцию, а на меня наезжают!
Кстати может дадите ссылку хоть на одну книжку где решаются, то есть получаются формулы решения систем нелинейных уравнений?
Вообще хоть кто нибудь в курсе как их надо решать?

individ.an · Сообщение **individ.an** » 24 фев 2015, 10:46

Эта систем Диофантовых уравнений была предложена на олипмиаде. 2000г. 2 задание.
Система такая.

$\left\{\begin{aligned}&x_1+x_2+x_3+x_4=x_4+x_5+x_6+x_7=x_7+x_8+x_9+x_1\\&x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2=x_7^2+x_8^2+x_9^2+x_1^2\end{aligned}\right.$

Одно из простых решений можно записать так.

$$x_1=6s^2-16ks-3as+6ka+8k^2$$

целые числа которые мы задаём.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 25 фев 2015, 06:50

Я не все уравнения тут рисую. Те наверное которые мне больше нравятся. Например такое.

$$A^2+B^2+C^2=X^3+Y^3$$

Сделаем замену чтоб формула более компактно выглядила.

$$t=(a^2+r^2)(z^2-k^2)+2j^2-2nj-n^2$$

Числа

задаются нами. Поэтому надо быть внимательным и не перепутать. Решения тогда запишем.

$$A=a(s((a^2+r^2)p^2-y^2+qy-q^2)+tp(2q-y))$$

Известна формула которая позволяет решить это уравнение с использованием уравнения Пелля.

$$a^2+b^3=c^4$$

Но если сделать такую замену.

$$p=tz(2zk^2+t)$$

То формулу можно записать и без него.

$$a=sp^3$$

individ.an · Сообщение **individ.an** » 25 фев 2015, 07:07

Представление квадрата двумя способами.

$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=z^2\\&q^2+t^2=z^2\end{aligned}\right.$

Сделаем такую замену.

$$a=p^2+s^2-k^2$$

Тогда решения можно записать.

$$x=2ab$$

Простенькая задачка конечно, но формула часто нужна бывает.

$$a^3=a(b^2+c^2+d^2)+2bcd$$

Если будем использовать Пифагорову тройку. $$x^2+y^2=z^2$$

Тогда решения можно записать.

$$a=z(zp^2-2yps+zs^2)$$

Кубическая тройка.

$$b(x^3+y^3)=az^3$$

Если коэфициенты имеют такой вид.

$$b=q^2+3n^2$$

Сделаем такую замену.

$$t=2qs$$

Тогда решения можно записать.

$$x=p^2-k^2+2kt-2pt$$

Забавно то, что вроде бесконечно много решений можно записать, но взаимнопростых решений оказывается конечно.

12d3 · Сообщение **12d3** » 25 фев 2015, 21:20

individ.an писал(а):Source of the post Эта систем Диофантовых уравнений была предложена на олипмиаде. 2000г. 2 задание.

Эта задачка честно решается полностью. Не попробуете ли найти все ее решения?

individ.an · Сообщение **individ.an** » 26 фев 2015, 04:41

12d3 писал(а):Source of the post
individ.an писал(а):Source of the post
Эта систем Диофантовых уравнений была предложена на олипмиаде. 2000г. 2 задание.Эта задачка честно решается полностью. Не попробуете ли найти все ее решения?

Формула чуть длинее выглядит.
А какой смысл её писать?

omega · Сообщение **omega** » 26 фев 2015, 04:54

individ.an писал(а):Source of the post А какой смысл её писать?

А с какм смыслом вы пишете все формулы здесь?
Вот и напишите полное решение, если вы его знаете.
А смысл такой: вам задали вопрос, вы должны на него ответить.
Иначе ваша тема вообще не имеет никакого смысла, если вы будете в ней только заниматься рисованием ваших формул; не задаёте сами никаких вопросов и не отвечаете на вопросы участников форума.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 26 фев 2015, 14:08

Для систем уравнений.

$\left\{\begin{aligned}&x_1+x_2+x_3+x_4=x_4+x_5+x_6+x_7=x_7+x_8+x_9+x_1\\&x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2=x_7^2+x_8^2+x_9^2+x_1^2\end{aligned}\right.$

Можно записать такое решение.

$$x_1=2(a-b)ba^2k^2-2a(3a-2b)bks+2(2a-b)bs^2+Q$$

Ваще любое целое число.

yourdomain.com