Формулы для решения Диофантовых уравнений.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 20 фев 2015, 09:14

folk писал(а):Source of the post individ, а как получить решение (2,3) в том уравнении где справа = 5?

Не понял?

omega · Сообщение **omega** » 20 фев 2015, 09:24

individ.an писал(а):Source of the post Ну так в чём проблема? Не все решения? Так надо воспользоваться и другими последовательностями. Их ещё несколько.

Да, вот именно ваше параметрическое решение даёт не все решения.
Надо воспользоваться другими последовательностями? Какими другими? Вы их не указали.
А то, что вы указали, даёт далеко не все решения. Следовательно, ваше решение не является полным (общим) решением данного уравнения.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 20 фев 2015, 09:50

omega писал(а):Source of the post Да, вот именно ваше параметрическое решение даёт не все решения.
Надо воспользоваться другими последовательностями? Какими другими? Вы их не указали.
А то, что вы указали, даёт далеко не все решения. Следовательно, ваше решение не является полным (общим) решением данного уравнения.

Пускай даже будет в 100 раз хуже.
Я постоянно повторял, что идёт разговор не об этом. А о другом, что существуют формулы в общем виде которые дают решения таких уравнений.
Причём они стандартные для всех уравнений.
Вы не понимаете разницу между формулой записанную в общем виде и полнотой решения получаемой по этой формуле.
О полноте решений пока рано говорить! Хотя всё время он старается перевести разговор в это русло.
Этот разговор не может быть потому, что надо показывать метод расчёта.
Так, что это разговор отложим на не определённое время!

Shadows · Сообщение **Shadows** » 20 фев 2015, 10:18

omega писал(а):Source of the post Следовательно, ваше решение не является полным (общим) решением данного уравнения

Shadows писал(а):Source of the post Они не только не полные. Они нелепые.

Давайте все таки напишем решение задачи - позанимаемся математикой $x^2+y^2=k(xy-1),\quad x,y,k \in \mathbb{N}$
Сразу напишем $$k>2$$

, так как

ля любого зафиксированого k среди множетсто решений $$(x,y)$$

в натуральных числах должно быть наименьшее (напр. с наименьшем y, если без изменения общности принять $x\ge y$ )
Решение $$y=1$$

принадлежит $$k=5$$

. Действительно
$(x^2+1):(x-1)=x+1+\frac{2}{x-1}$
с решениями $$x=2,x=3$$

, что соответсвует $$k=5$$

Если существуют решения при $k\ne 5$ , то наименьшее для такого k должно быть $$y>1$$

Рассмотрим квадратное уравнение относительно x
$$x^2-kyx+y^2+k$$

Если существует натуральное решение $x_1 \ge y$ , то второй корень $$x_2$$

:
1) Целый. По формула Виета $x_1+x_2=ky\Rightarrow x_2 \in \mathbb{Z}$
2)Натуральный. Опять по формулам Виета $$x_1x_2=y^2+k>0$$

3)

Достаточно доказать неравенство $$(x_1-y)(x_2-y)<0$$

$\\x_1x_2-y(x_1+x_2)+y^2 <0\\ y^2+z-y(yz)+y^2<0\\ zy^2-2y^2-z>0\\ (y^2-1)(z-2)>2$
Последнее неравенство несомненно верно при $$z>2,y>1$$

Тоесть, если существует решение $$(x_1,y)$$

, должно существовать меньшее решение $$(y,x_2)$$

и если рассмотреть как квадратное относительно y с фиксированном $$x_2$$

- еще меньшее $$(x_2,y_2)$$

и т.д получается бесконечный спуск, что на множестве натуральных чисел невозможно. Следовательно, уравнение имеет решений только при $$k=5$$

И решения получается аналогично спуску, только подъемом начиная с начальных решений (1,2);(1,3) (опять же, можно использоват формулу Виета)
И тут будут все решения, так как, если предположить решение, не принадлежащее одной из друх последовательностей, то оно должно спустится (как было доказано выше) до $$y=1$$

, но квадратное уравнение (отсительно x) имеет только 2 решения.
Аналогично, спуском, доказывается что уравнение Маркова $$x^2+y^2+z^2=kxyz$$

не имеет решений при $$k>3$$

(и имеет смысл рассматривать только $$k=3$$

), но individ "решил" его в "общем виде"

omega · Сообщение **omega** » 20 фев 2015, 10:19

individ.an писал(а):Source of the post Вы не понимаете разницу между формулой записанную в общем виде и полнотой решения получаемой по этой формуле.

Я прекрасно понимаю, что такое общее решение и что такое полное решение.
Вам доказали, что ваши формулы (как вы их называете - последовательности) не дают всех решений приведённого уравнения, много решений по вашей формуле не получается.
Вы в самом начале этой темы утверждали, что находите такие формулы для решений уравнений, которые дают ВСЕ решения.
Оказывается, это совсем не так, что было доказано на конкретном уравнении.
Поэтому идите учитесь решать уравнения и находить полные решения.
Потом придёте других учить.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 20 фев 2015, 11:02

В этом и отличия методов.
Чтоб решить уравнение - он должен знать первое решение. Мне этого не надо. Вообще нет необходимости знать решения чтоб построить формулу.
Когда формула общая - можно выбрать различные серии решений.
Как в данном случае - выбираем одну серию последовательностей - строятся одни решения. Надо только выбрать все возможные.
Прежде чем научится получать полные решения - надо понять как строятся вообще решения.
Формулу Пифагоровых троек - тоже сперва получили для не полного решения. Да и сейчас очень многие решения находят - параметризация которых не полна.
Так на них никто не кричит - что нашли не полные решения. Поэтому не должны ничего печатать и вообще как всё найдут пусть приходят.
Мне нравится рисовать формулы. В особенности когда они выглядят громоздко и так красиво.
Интересует одно - почему же они появляются. И какая закономерность их построения.
Так, что давайте друг другу не мешать. Я буду рисовать свои красивые формулы, а Вы будете искать свои циферки.

omega · Сообщение **omega** » 20 фев 2015, 11:24

individ.an писал(а):Source of the post Прежде чем научится получать полные решения - надо понять как строятся вообще решения.

Вот и поймите

individ.an писал(а):Source of the post Мне нравится рисовать формулы. В особенности когда они выглядят громоздко и так красиво.

Рисуйте, если нравится. Только не надо здесь кричать, что вам не дают опубликовать ваш гениальный метод в журналах.
Если метод есть и он действительно гениальный, выкладывайте его на форумах (на всех сразу) и никто ваш метод не украдёт.

individ.an писал(а):Source of the post Так, что давайте друг другу не мешать.

Я вам вроде как не мешаю. А задавать вопросы имеет право любой участник форума. А вы должны на них давать вразумительные ответы, если вы преподносите здесь действительно решения, а не набор символов.

12d3 · Сообщение **12d3** » 20 фев 2015, 12:35

individ, у меня к вам совершенно оффтопный вопрос. Какую реакцию форумчан на ваши сообщения вы хотели бы увидеть?

individ.an · Сообщение **individ.an** » 20 фев 2015, 15:07

Всё равно ничего не понимаю! Перепроверил несколько раз. Наверное путаница возникла из-за того, что он считает эти числа только положительными.
Значит в уравнении: заново запишу решения и более компактно.

$$x^2+y^2=5(xy-1)$$

Решения определяются следующей последовательностью.

$$z_2=55z_1+252q_1$$

Если зададим первое решение как. $(z ; q ) \rightarrow (55 ; 12)$ Тогда решения можно записать.
$$x=z^2+2zq+21q^2$$

Если зададим первое решение как: $(z ; q ) \rightarrow (1 ; 1)$ Тогда решение можно записать как.
$x=\frac{z+5q}{2}$
$$y=q$$

Если зададим первое решение как ; $(z ; q ) \rightarrow (4 ; 1 )$ Тогда решения можно записать как:
$$x=z+5q$$

Если же использовать числа последовательности $$(1)$$

с первым значением $(z ; q ) \rightarrow ( 55 ; 12 )$
То можно составить другую последовательность. С первым элементом $(p ; s ) \rightarrow ( 2 ; 1 )$

$$p_2=zp_1+7qs_1$$

Тогда решения можно записать так:
$$x=p-s$$

Вот для чего такой подход и нужен. Можно составить бесконечно много различных последовательностей. И все они будут задавать решения этого уравнения.
И каждая последовательность имеет связь с другой.
Путаница с том нашёл ли я все решения возникла из-за того, что надо рассматривать числа $$z,q$$

которые могут иметь разные знаки.
А учитывались судя по всему только положительные.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 20 фев 2015, 15:12

12d3 писал(а):Source of the post individ, у меня к вам совершенно оффтопный вопрос. Какую реакцию форумчан на ваши сообщения вы хотели бы увидеть?

Это ты о чём?
От народа на форумов в России вообще никакой пользы нет. Только нервы портят.

yourdomain.com