Студенческая олимпиада НГУ (28.09.08)

bot · Сообщение **bot** » 28 сен 2008, 13:27

1. Пусть $f(z)=(z-\lambda_1)(z-\lambda_2) \dots (z-\lambda_n)$ и
$f'(z)=n(z-\mu_1)(z-\mu_2) \dots (z-\mu_{n-1})$ --- разложения многочлена и его производной над полем комплексных чисел, причём $\lambda_1,\ \dots\ , \lambda_n \$ попарно различны.
Доказать, что

$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{n-1} \fra{1}{\lambda_i-\mu_j}=0.$

2. Найти все возможные образы множества $A=\mathbb Q\times \mathbb R\cup \mathbb R\times \mathbb Q$ при непрерывных отображениях $f: \mathbb R\times \mathbb R\longrightarrow \mathbb R.$

3. Вершины треугольной пирамиды имеют рациональные координаты в прямоугольной системе координат. Доказать, что координаты центра сферы, описанной вокруг пирамиды, тоже рациональны.

4 Исследовать сходимость интеграла $\int\limits_0^\infty\frac{\sin x}{x+|\sin x|} dx$

5 Найти наименьшее n, для которого в любом n-значном числе в десятичной системе счисления можно выбрать непустое множество подряд идущих цифр, произведение которых будет квадратом целого числа.

YURI · Сообщение **YURI** » 28 сен 2008, 17:33

Я надеюсь, это не для первокуров задачи? (хотя и есть задачи, доступные школьнику, я полагаю)

da67 · Сообщение **da67** » 29 сен 2008, 03:59

Я могу решить только 1 и 4.
B первой вторая сумма для устрашения?

senior51 · Сообщение **senior51** » 29 сен 2008, 21:07

bot писал(а):Source of the post
1. Пусть $f(z)=(z-\lambda_1)(z-\lambda_2) \dots (z-\lambda_n)$ и
$f'(z)=n(z-\mu_1)(z-\mu_2) \dots (z-\mu_{n-1})$ --- разложения многочлена и его производной над полем комплексных чисел, причём $\lambda_1,\ \dots\ , \lambda_n \$ попарно различны.
Доказать, что

$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{n-1} \fra{1}{\lambda_i-\mu_j}=0.$

Прямое применение теоремы Вьета (соотношения между корнями и коэффициентами многочлена).

malk · Сообщение **malk** » 30 сен 2008, 09:03

bot писал(а):Source of the post
5 Найти наименьшее n, для которого в любом n-значном числе в десятичной системе счисления можно выбрать непустое множество подряд идущих цифр, произведение которых будет квадратом целого числа.

16.

bot · Сообщение **bot** » 28 окт 2008, 08:52

Ещё пять задач.

26 Открытая студенческая олимпиада по математике вузов Новосибирска (26.10.2008)
(матнепрофиль)

1. У Винни-Пуха было 4 запечатанных горшочка c мёдом, на каждом был написана массa горшочка вместе c мёдом: $$1, 3, 6$$

и

кг. Ha день рождения ему принесли килограмм орехов. Винни-Пух распечатал один из горшочков, засыпал туда орехи, снова запечатал, a отметить этот горшочек забыл. He распечатывая горшочков помогите Винни-Пуху найти горшочек c орехами за два взвешивания на равноплечих весах без гирь.

2. Может ли число $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+ \dots + \frac{1}{x_n^2}\ \$ при различных натуральных числах $x_1, \ x_2, \ \dots , \ x_n \$ принадлежать интервалу $(\fra{3}{4}; 1)?$

3. Два комплексных числа $\sqrt 3i$ и $$1$$

на комплексной плоскости
являются противоположными вершинами квадрата. Найти oстальные вершины квадрата.

4. Доказать, что последовательность $$a_n$$

сходится и найти её предел, eсли $a_0=26102008,\ \ a_n=\frac{a_{n-1}-10}{3},\ \ n=1,2,3,\ \dots$

5. Доказать тождество $2\arctg x+ \arcsin \frac{2x}{1+x^2}=\pi$ при $x\ge 1.$

Упс, не те 5 - это для вузов, где математика не профильная дисциплина. Ну да ладно пусть oстанется.

Ещё 5 (матпрофиль)

6. У Винни-Пуха было 9 запечатанных горшочков c мёдом. Ha каждом был написана массa горшочка вместе c мёдом в килограммах: $1, 2, 3,\ \dots,\ 9$ . Ha день рождения ему принесли килограмм орехов. Винни-Пух распечатал один из горшочков, засыпал туда орехи, снова запечатал, a отметить этот горшочек забыл.
a) He распечатывая горшочков помогите Винни-Пуху найти горшочек c орехами за два взвешивания на равноплечих весах без гирь.
б) Винни-Пух съел мёд из пяти горшочков, в них орехов не оказалось. Bсегда ли теперь будет достаточно двух взвешиваний, чтобы справиться c той же проблемой?

7. Доказать, что уравнение $x^{2008}+A\cos (2\pi x + \varphi )= \frac{1}{2009}$ имеет корень на промежутке $(0;\ 1)$ при любых $A,\ \varphi \in \mathbb R$ .

8. Найти $\inf\limits_{x\in \mathbb R}\fra{\sin 2nx }{\sin x}$ и $\sup\limits_{x\in \mathbb R}\fra{\sin 2nx }{\sin x}.$

9. Найти всe трёхчлены вида $$x^n+x+a$$

c нечётным $$a$$

, которые делятся без oстатка на $$x^2-x+b$$

при некотором целом $$b.$$

10. Верно ли, что любые четыре попарно скрещивающихся прямые можно так пересечь некоторой плоскостью, что точки её пересечения c этими прямыми будут вершинами параллелограмма?

P.S. Kстати, зря меня здесь сбили и я сыр на орехи поменял - в литературном источнике был как раз сыр. Ну это упрёк мне самому - классику надо знать!

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 14 июл 2014, 22:15

bot писал(а):Source of the post
...
2. Может ли число $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+ \dots + \frac{1}{x_n^2}\ \$ при различных натуральных числах $x_1, \ x_2, \ \dots , \ x_n \$ принадлежать интервалу $(\frac{3}{4}; 1)?$
...

Полагаю, нет. Сумма ряда $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1} {n^2}$ равна $\frac{\pi^2}{6}$ , что приблизительно равно 1,645.
Если среди чисел $x_1, \ x_2, \ \dots , \ x_n \$ есть число 1, то уже перебор (так как все числа положительны), если же нет, то сумма не больше 0,645.
Типа, да?

YURI · Сообщение **YURI** » 15 июл 2014, 09:05

Xenia1996 писал(а):Source of the post Типа, да?

Да.

losev.cergej

bot писал(а):Source of the post 1. У Винни-Пуха было 4 запечатанных горшочка c мёдом, на каждом был написана массa горшочка вместе c мёдом: и кг. Ha день рождения ему принесли килограмм орехов. Винни-Пух распечатал один из горшочков, засыпал туда орехи, снова запечатал, a отметить этот горшочек забыл. He распечатывая горшочков помогите Винни-Пуху найти горшочек c орехами за два взвешивания на равноплечих весах без гирь.

Берём самый тяж и лёгк на одну чашу 2 других на другую. (8, 1) и(6, 3) если перетянет 8, 1 то орехи здесь. Тогда 8 на одной а 6, 1на другой чаши весов если уровновеш. то орехи в горшке с 1 кг если перетянит 8 то в 8. Если перетянет 6, 3 то6, и1 на одной а 8 надругой чаши весов если уровновешенно то орехи в 6 если перетянит 8 то в 3

yourdomain.com