задание на делимость чисел

tata00tata · Сообщение **tata00tata** » 14 июл 2014, 18:19

Здравствуйте. Вот ещё давно хотела спросить, руки не доходили
Докажите, что
$$1^3+2^3+...+99^3$$

делится на 100

Вообще не знаю, что делать(

zam2 · Сообщение **zam2** » 14 июл 2014, 18:47

tata00tata писал(а):Source of the post Здравствуйте. Вот ещё давно хотела спросить, руки не доходили
Докажите, что
делится на 100
Вообще не знаю, что делать(

Если знать формулу $1^3+2^3+...+n^3=[\frac {n(n+1)} {2}]^2$ ,
то видно, что $1^3+2^3+...+99^3=(\frac {99\cdot100} {2})^2$ явно делится на 100, и даже на 5000.
А если не знать, то можно вспомнить: $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

.
Образовав пары (первый+последний), (второй+предпоследний)... получим суммы с множителем 100.
Например: $2^3+98^3=100\cdot(...)$ . Останется число без пары -50. Но $$50^3$$

тоже делится на 100.

ARRY · Сообщение **ARRY** » 14 июл 2014, 19:00

zam2 писал(а):Source of the post
Если знать формулу $1^3+2^3+...+n^3=[\frac {n(n+1)} {2}]^2$

Кстати, любопытно, что из этой формулы следует
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=(1+2+3+\cdots +n)^2$

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 17 июл 2014, 19:12

$99\equiv -1 \pmod{100} \Rightarrow 1^3+99^3\equiv 0\pmod{100}$
Обобщите.

yourdomain.com