Пересечение парабол

sud08271 · Сообщение **sud08271** » 21 апр 2014, 12:05

Две произвольные (в т. ч. и вырожденные, с абсолютно любыми коеффициентами в действительном пространстве) параболы заданы в форме

$\{{ c_{11} x + c_{21} y + c_{31} = c_{41} \sqrt {x^2 + y^2}; \\ c_{12} x + c_{22} y + c_{32} = c_{42} \sqrt {x^2 + y^2}; }}$

Ну или так (на самом деле мне все равно, но задача пославленна как наверху)

$\{{ A_1 x^2 + B_1 xy + C_1 y^2 + D_1 x + E_1 y + F_1 = 0; \\ A_2 x^2 + B_2 xy + C_2 y^2 + D_2 x + E_2 y + F_2 = 0; }}$

Решение у меня есть. Для первого случая. Но оно довольно громоздкое, и что самое главное с ветвлениями. Мало того, я когда его запрограммировал и проверил на тесте, то где-то прокралась ошибка. Нужно проверять. Что я и сделаю.

Но все же интересно, может быть уже где-то решение описано? Зачем изобретать велосипед?
Тут самое важное - это ветвления.

sud08271 · Сообщение **sud08271** » 21 апр 2014, 17:04

Все еще не могу найти

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 21 апр 2014, 19:45

Решение и будет громоздким. Как ни крути нужно систему решать и красивого ответа не предвидится. Оба уравнения делятся на $$c_4$$

, потом одно вычитается из другого и выражается $$x$$

или

и подставляется в первоначальное - получим 2 точки пересечения.

sud08271 · Сообщение **sud08271** » 21 апр 2014, 20:11

Нет, не всегда делятся. Вот тут, кстати, одно из ветвлений, что меня очень сильно напрягает.

Кстати, являются ли уравнения с первой системы уравнениями парабол. А то меня уже начинают терзать сомнения.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 21 апр 2014, 20:37

sud08271 писал(а):Source of the post
Нет, не всегда делятся. Вот тут, кстати, одно из ветвлений, что меня очень сильно напрягает.

Ну значит

и это прямая, а не парабола.

sud08271 писал(а):Source of the post Кстати, являются ли уравнения с первой системы уравнениями парабол. А то меня уже начинают терзать сомнения.

Нужно свести к каноническому уравнению параболы и будет видно при каких значениях параметров это парабола.
upd: Если я не ошибся, то парабола получается при $$c_4^2=c_1^2+c_2^2$$

:

bot · Сообщение **bot** » 22 апр 2014, 06:49

А с чего Вы взяли, что это параболы? Возьмите, к примеру, $c_{11}=c_{21}=c_{41}=1, \ c_{31}=0$
[перечитав тему, обнаружил, что Inspektor это отметил]
Задача банальна. Приравняв корни, получим линейную связь между переменными. Подствив её в одно из уранений, получим квадратное уравнение ...

M	Матанализом здесь и не пахнет, переезжаем в школу.

A	Матанализом здесь и не пахнет, переезжаем в школу.

Ian · Сообщение **Ian** » 22 апр 2014, 06:53

qwertylol писал(а):Source of the post
upd: Если я не ошибся, то парабола получается при :

Не ошиблись. Коническое сечение будет параболой, если плоскость параллельна образующей конуса. Угловой коэффициент образующей $$|c_4|$$

, а плоскости с горизонталью $\sqrt{c_1^2+c_2^2$ . Еще надо добавить условие $$c_3/c_4>0$$

, чтобы плоскость пересекала сам конус, а не его нижнюю (мнимую) часть. Зато: если все это выполняется,не надо проверять, что корни уравнения не являются лишними, появившимися при возведении в квадрат уравнения относительно х.(В программе этого и не проверяли )Это было бы, если бы корень оказался на мнимой части конуса. Но обе параболы при этих условиях ее не пересекают.

sud08271 · Сообщение **sud08271** » 22 апр 2014, 10:35

Да, действительно, я немного подзабыл. Это не две параболы, а две кривые второго порядка.
Ну, тогда, вопрос меняется: рассмотрена ли где-то задача про пересечение двух кривых второго порядка?

Ну значит и это прямая, а не парабола

Ну почему же, прямая это тоже парабола

. Просто систему прийдется решать по-другому.

Зато: если все это выполняется,не надо проверять, что корни уравнения не являются лишними, появившимися при возведении в квадрат уравнения относительно х.(В программе этого и не проверяли)

Интересно, я это не учел. Тоесть, если $$c_4<>0$$

, то имеем не вырожденную кривую в прямую. И естественно, возведём в квадрат при решении. И появятся лишние корни. Вы говорите что нужно лишь $$c_3/c_4>0$$

. Я подумаю над этим.

Задача банальна. Приравняв корни, получим линейную связь между переменными. Подствив её в одно из уранений, получим квадратное уравнение ...

Я не спорю, но мне еще интересна геометрическая сторона вопроса: что я решаю; что означают мои преобразования; вот тут еще подкинули идею про лишнии корни; где это уже решено.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 22 апр 2014, 11:36

sud08271 писал(а):Source of the post Ну почему же, прямая это тоже парабола .

Нет , парабола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой и данной точки. Её уравнение имеет вид $y^2=2px,\ p>0$ . А прямая - это даже не кривая второго порядка.

sud08271 · Сообщение **sud08271** » 22 апр 2014, 11:48

Это так, но рассмотрим также траекторию кометы на бесконечности от планеты:
Планета ни как не искривит ее. Тоесть если сделать предельный переход, то парабола может выродится в прямую.

yourdomain.com