Насколько я понимаю, никакой Доплер для работы GPS не используется, всё проще и хитрее.
В передаваемой частоте закодировано точное время излучения сигнала спутником (по часам спутника, каждый из которых для этого содержит атомные часы, корректируемые наземным контролем) и точное его положение на орбите в момент излучения сигнала. Время прохода сигнала до приёмника неизвестно, да оно ещё и всегда разное для всех видимых спутников, но, зато всегда можно определить разности времён прохождения сигнала от разных спутников - приняв одно и тоже сообщение (излучённое спутниками строго одновременно) и замерив разность времени их прихода по сама приёмника. Ну или приняв одновременно разные сообщения с точно известным временем их излучения (по часам спутников).
Если бы мы знали точное время прохода сигнала от каждого спутника, то для одного видимого спутника мы бы находились в любой точке на сфере радиуса
![$$r = ct$$ $$r = ct$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24r%20%3D%20ct%24%24)
с центром в спутнике. Если не привязываться к рельефу планеты, то ничего более узнать нельзя.
Для двух видимых спутников мы находимся где-то на окружности пересечения двух сфер (разных радиусов) от двух спутников. Если добавить точный рельеф планеты то уже можно получить 1 или 2 точки возможного местоположения ...
Для трёх видимых спутников будет лишь две возможные точки пересения окружности и третьей сферы (причём одна точка скорее всего далеко в космосе).
Но, т.к. время прохождения сигнала от спутников мы не знаем, в зависимости от него обе точки превращаются в две некие монотонные траектории, которые пересекаются с 4-й сферой (от 4-го видимого спутника), которая тоже изменяет свой размер вместе с остальными тремя, ровно в одной точке. Вырожденные случаи (лишь касание сфер) не рассматриваем.
Потому и нужно 4 спутника для определеняи координат. Сначала относительно спутников, потом, учитывая их точно известное положение в момент излучения сигналов - и относительно планеты.
Приёмники GPS пытаются подобрать одну переменную (равную разности часов приёмника и спутников), при единственном значении которой все 4 сферы (разных радиусов) пересекутся в одной точке, которая и окажется точкой нахождения приёмника. Ну а потом ещё и пересчитать координаты из СО спутников в СО Земли.
Ну и про СТО, точнее даже ОТО.
Тут есть как минимум два эффекта, влияющие на переход из СО спутников в СО приёмника: изменение гравитационного потенциала по пути прохода сигналов (точнее важно что он разный в точках излучения и приёма) и
вращающееся гравитационное поле (оно вносит искажения по сравнению с невращающимся). И эти эффекты приходится учитывать для повышения точности определения координат. Само наличие этих эффектов и их величины прекрасно подтверждают формулы ОТО.