Движение шайбы по конусу

Рубен · Сообщение **Рубен** » 30 янв 2014, 09:35

Anik писал(а):Source of the post $v=\sqrt{gR}$ . (*)

Да, а при произвольном угле $\alpha$ скорость будет $\displaystyle v=\sqrt{ gR \tg {\alpha}}$

Anik писал(а):Source of the post
zam2 писал(а):Source of the post Поэтому по инерции проскочит выше, дойдет до окружности максимального подъема и пойдет вниз до окружности старта. Так и будет болтаться вверх-вниз.
Я написал в скобочках пока, потому что мне нужно подумать. Может быть можно доказать поведение шарика в обход дифуров?

Можно так. В положении равновесия проекция главного вектора на вертикаль (ось $$z$$

) равна нулю, т.е. $\dot v_z = 0$ . Тогда скорость шарика будет экстремальной, т.к. производная (ускорение) от функции (скорость) в её экстремуме равна нулю. Экстремальна - это либо максимальна, либо минимальна (нуль). Теперь воспользуемся физическими соображениями. Вертикальная скорость шайбы в начальный момент была равна нулю (мы ей придали лишь горизонтальную составляющую скорости). Шайба переместилась на равновесную орбиту. Допустим, вертикальная скорость шайбы при перемещении из начальной орбиты в верхнюю вновь обратилась в нуль. Импульс проекции главного вектора силы на ось $$z$$

был все время положительный: в начале движения он был направлен вверх, а в конце движения обратился в нуль. Но изменение проекции импульса шайбы на ось $$z$$

равно нулю (в начале и в конце нуль). Наблюдаем нарушение ЗСИ. Следовательно, импульс шарика в конце движения не нуль, а имеет свой максимум.

Anik писал(а):Source of the post Зря мне здесь не разрешают рассмотреть задачу о вращении изолированной системы двух шариков с одинаковой массой, связанных нитью, которая может изменить длину. Эта задача проще, чем движение шайбы по конусу, а суть всё равно та же самая.

Да решайте на здоровье, только создайте отдельную тему.

zam2 · Сообщение **zam2** » 30 янв 2014, 09:41

Anik писал(а):Source of the post Здесь нужно составить и решить дифференциальные уравнения движения...

Уравнения уже составлены:#34.

Anik писал(а):Source of the post Может быть можно доказать поведение шарика в обход дифуров?

Вы считаете, что шарик поднимается по конусу и выходит на круговую орбиту на некоторой высоте. В силу обратимости во времени всех законов механики, при обращении времени получится, что шарик бегает по круговой орбите, а потом почему-то сходит с нее и опускается вниз. Не бывает (трения же нет).
Совсем недавно была маленькая темка: Почему невозможно вывести спутник на круговую орбиту при помощи одного импульса?. Абсолютно аналогичный случай.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 30 янв 2014, 17:48

Проверил #34, ошибок не нашёл..., тогда ещё.

1. Для движения шайбы можно из тех двух уравнений получить:
$(\dot h)^2=b-(a/h)^2sin^2 (\alpha)-2ghcos^2 (\alpha)$

2. Из них же можно получить дифур для траектории, но он сложноватенький, если кому интересно, кину.

3. Для энергии шайбы можно получить:
$W=\frac{m}{2}(\frac{a^2 tg^2 (\alpha)}{h^2}+\frac{(h')^2}{cos^2 (\alpha)})+mgh$
Поскольку она сохраняется, а в верхней и нижней точках траектории $$h'=0$$

, то для этих уровней $$H$$

имеем:
$mgH+\frac{ma^2tg^2 (\alpha)}{2H^2}=W$
Это уравнение может иметь один или 3 вещественных корня...

Теперь думаю anik может исследовать движение шайбы.

Но для вихрей это ничего не даёт.

Опять же навскидку, не проверял.

PS. Там штрих - производная по времени.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 31 янв 2014, 11:40

Рубен писал(а):Source of the post
Алекс, а пробовали численно в матпакете траекторию получить (проинтегрировать тот самый сложновастенький дифур)? У меня дома только Маткад, не уверен, что он осилит его.

Может попозже.

zam2 · Сообщение **zam2** » 31 янв 2014, 13:14

Рубен писал(а):Source of the post - мне интересно посмотреть кривую...

Получено в Maple 13.00 численным интегрированием системы ДУ.

Трехмерку я еще не освоил.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 31 янв 2014, 14:20

zam2 писал(а):Source of the post
Рубен писал(а):Source of the post - мне интересно посмотреть кривую...
Получено в Maple 13.00 численным интегрированием системы ДУ.

То есть картинка - как Вы и ожидали до решения.

Рубен, можно ещё одну тему выделить - "Анику про механику"

Anik · Сообщение **Anik** » 02 фев 2014, 07:24

zam2 писал(а):Source of the post
Получено в Maple 13.00 численным интегрированием системы ДУ.

У вас переменные $$h$$

и $\Theta$ ?
А можно начальные условия задать так, чтобы $\dot h=0$ , а $\dot\Theta\neq 0$ и построить график?

zam2 · Сообщение **zam2** » 02 фев 2014, 11:09

Anik писал(а):Source of the post У вас переменные и $\Theta$ ?
А можно начальные условия задать так, чтобы $\dot h=0$ , а $\dot\Theta\neq 0$ и построить график?

Именно так и заданно. Запись в программе $$D(h)(0)=0$$

соответствует $\frac {dh} {dt}\mid_{t=0} =0$ в традиционной записи.
Второе уравнение системы $h^2\frac {d\theta} {dt}=0.6$ определяет, что $\frac {d\theta} {dt}\mid_{t=0}=\frac {0.6} {h^2(0)}=\frac {0.6} {4}=0.15$ .

Рубен · Сообщение **Рубен** » 02 фев 2014, 11:15

Вот anik и получил ответ на вопрос: как будет двигаться шайба, запущенная горизонтально с произвольной скоростью.

zam2 · Сообщение **zam2** » 04 фев 2014, 10:33

Из статьи Арнольда "Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук" (Арнольд):
Скорее всего, дело обстояло так. Гук, не имея необходимого математического аппарата, не сумел точно решить уравнений движения, получающихся из закона обратных квадратов, и, чтобы найти орбиты, численно, графически или на аналоговой машине вроде упомянутой им вогнутой поверхности эти уравнения проинтегрировал. Известно, что такая машина у Гука была: он исследовал характер движения при различных законах притяжения, моделируя притяжение действием поверхности на скользящий по ней груз. (Заметим, что всё это происходило за шесть лет до того, как была написана книга Ньютона и сформулированы общие законы механики. По нашим современным представлениям в то время ещё механики не было. Тем не менее в эти домеханические времена Гук находит приближённые решения уравнений движения для закона обратных квадратов, а Гюйгенс формулирует закон сохранения энергии... Проинтегрировав уравнения движения, Гук нарисовал орбиты и увидел, что они похожи на эллипсы. Отсюда и возникло слово эллиптоид. Назвать их эллипсами ему не позволила научная честность, так как доказать эллиптичность он не смог. Сделать это Гук предложил Ньютону, сказав, что он не сомневается, что Ньютон с его превосходными методами справится с этой задачей и убедится также и в том, что первый закон Кеплера (утверждающий, что планеты движутся по эллипсам) тоже следует из закона обратных квадратов.

Интересно, правда?

yourdomain.com