Движение шайбы по конусу

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 29 янв 2014, 14:03

Эта задачка имеет по крйней мере 3 модификации:
- маленькая шайба без трения,
- маленькая шайба с трением,
- шарик конечных размеров (естественно с трением).

Большая шайба - это уже скорее техническая задача, а с шариком задачка сложноватенькая.

balans · Сообщение **balans** » 29 янв 2014, 14:25

Здравия Вам желаю.

zam2 писал(а):Source of the post
Шарик будет колебаться между нижним и верхним уровнями.

Попытался решить задачу. Вот что получилось.
Закон сохранения момента импульса
$$mv_0r_0=M=const$$

где 0-соответствует "равновесному" состоянию
центробежная сила
$$F_{öáñ}=m\frac {v^2} {r}=\frac {M^2} {m r^3}$$
сила касательная к поверхности конуса (45 градусов ...)
$F=-\frac {M^2} {m}(\frac {1} {r^3_0}-\frac {1} {r^3})$
Пусть
$r=r_0+\Delta r$
тогда при очень малом возмущении
$r^{-3}=(r_0+\Delta r)^{-3}=r^{-3}_0 (1-3\frac {\Delta r} {r_0})$
получаем дифур
$-\frac {3M^2} {m \sqrt{2}}\frac {1} {r^4_0} \Delta r=m\frac {d^2 \sqrt{2}\Delta r} {dt^2}$
итого частота колебании
$\omega=\frac {M} {m r^2_0}\sqrt{3/2}$

Anik · Сообщение **Anik** » 29 янв 2014, 14:27

Рубен писал(а):Source of the post Найдите величину горизонтальной скорости, которую должен иметь шарик, чтобы вращаться на окружности радиусом на конусе, угол раствора которого $\alpha$ . Решается практически в уме.

Вот и решили бы, если это так просто.
Вы согласны с тем, что для любого горизонтального конического сечения (кругового) с радиусом $$R(h)$$

можно подобрать такую начальную горизонтальную скорость, что вращение шарика по этой окружности будет равновесным?

И ещё, для различных таких радиусов $$R(h)$$

равновесных окружностей, кинетические моменты шарика относительно оси конуса будут различны?

Для каждого конкретного значения кинетического момента, существует только одна равновесная окружность с определённым радиусом и определённой линейной скоростью вращения.
Вот я в своей задаче, задавшись конкретным значением кинетического момента и нашёл соответствующий радиус равновесной окружности.

Вы же мне рекомендуете, взяв соответствующий радиус $$R$$

, подобрать для него такую начальную линейную скорость вращения, чтобы вращение по окружности с таким радиусом стало равновесным. Ну и что? Существует такая начальная скорость, я её найду, (этой скорости вращения будет соответствовать какой-то кинетический момент), и что это нам даст? Что мы при этом станем понимать?

Anik · Сообщение **Anik** » 29 янв 2014, 14:38

Рубен писал(а):Source of the post
Это равнодействующая двух сил: центробежной и силы тяжести, только в обратном направлении. См. рисунок.
Эта равнодействующая - вектор реакции конуса, но не главный вектор.

Но, вы согласитесь с тем, что этот вектор реакции конуса и есть сила действующая на шарик.
Её горизонтальная составляющая создаёт центростремительное ускорение, а вертикальная составляющая компенсирует силу тяжести шарика. (Это при вращении по равновесной окружности). См. рисунок.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 29 янв 2014, 14:49

Anik писал(а):Source of the post Вы согласны с тем, что для любого горизонтального конического сечения (кругового) с радиусом можно подобрать такую начальную горизонтальную скорость, что вращение шарика по этой окружности будет равновесным?

Да.

И ещё, для различных таких радиусов равновесных окружностей, кинетические моменты шарика относительно оси конуса будут различны?

Да.

Для каждого конкретного значения кинетического момента, существует только одна равновесная окружность с определённым радиусом и определённой линейной скоростью вращения.

Да.

Вот я в своей задаче, задавшись конкретным значением кинетического момента и нашёл соответствующий радиус равновесной окружности.

Если бы, но вы же заявили, что нашли другое: окружность, на которой будет вращаться шарик при произвольных начальных условиях. Но на самом деле, он на ней не будет вращаться, для этого нужны жесткие начальные условия, которые я вам и предложил найти.

Anik писал(а):Source of the post Но, вы согласитесь с тем, что этот вектор реакции конуса и есть сила действующая на шарик.

Нет, сила, действующая на шарик - это сумма трех сил (в неИСО): конуса, тяжести и центробежная.

ALEX165 писал(а):Source of the post - маленькая шайба без трения

Это интересная.

- маленькая шайба с трением,

Уже эта сложновастенькая.

Anik · Сообщение **Anik** » 29 янв 2014, 15:41

Рубен писал(а):Source of the post
Вот я в своей задаче, задавшись конкретным значением кинетического момента и нашёл соответствующий радиус равновесной окружности.
Если бы, но вы же заявили, что нашли другое: окружность, на которой будет вращаться шарик при произвольных начальных условиях. Но на самом деле, он на ней не будет вращаться, для этого нужны жесткие начальные условия, которые я вам и предложил найти.

Это где же я такое заявлял?
В своей задаче я задал конкретные начальные условия: положение шарика на радиусе $$R$$

и линейную скорость вращения $$v$$

. Затем, я нашёл соответствующий заданным начальным условиям момент импульса $$L$$

и принял его за постоянную величину.
Если мы будем задавать конкретные различные значения параметрам $$R$$

и

, то будем получать и различные значения для радиуса равновесной окружности $$r$$

, который выражен через известные параметры $$R$$

и

, заданные начальными условиями движения.

Рубен писал(а):Source of the post
Anik писал(а):Source of the post Но, вы согласитесь с тем, что этот вектор реакции конуса и есть сила действующая на шарик.
Нет, сила, действующая на шарик - это сумма трех сил (в неИСО): конуса, тяжести и центробежная.

Вот, не люблю, когда начинают манипулировать ИСО и неИСО как напёрсточники. ИСО подразумевается одна - это лабораторная система отсчёта в которой наш конус неподвижен.

Anik · Сообщение **Anik** » 29 янв 2014, 15:54

ALEX165 писал(а):Source of the post
а с шириком задачка сложноватенькая.

Почему? Вы, наверное, считаете, что шарик будет катиться и поэтому вращаться? Тогда придётся рассматривать его энергию собственного вращения и собственный момент импульса шарика?
Но, почему шарик должен придти во вращение если нет трения, и чем, в таком случае, задача с шариком сложнее задачи с шайбой?
Задача с шариком проще потому, что проще найти реакцию опоры, она приложена в точке касания шарика, а не распределена по поверхности как у шайбы.
***Шайба всё равно не приляжет плотно к криволинейной поверхности конуса, и возможна её болтанка.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 29 янв 2014, 16:56

Рубен писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post - маленькая шайба без трения
Это интересная.

Я прикинул - Ланранжем ур-я вроде интегрируются.

- маленькая шайба с трением,
Уже эта сложновастенькая.

Да.

Anik писал(а):Source of the post

Но, почему шарик должен придти во вращение если нет трения, и чем, в таком случае, задача с шариком сложнее задачи с шайбой?

Вы опять невнимательны, я же специально сказал что шарик С ТРЕНИЕМ (чтобы катился).

Задача с шариком проще потому, что проще найти реакцию опоры, она приложена в точке касания шарика, а не распределена по поверхности как у шайбы.
***Шайба всё равно не приляжет плотно к криволинейной поверхности конуса, и возможна её болтанка.

А шайба МАЛЕНЬКАЯ, значит размерами её пренебрегаем!

Anik · Сообщение **Anik** » 29 янв 2014, 17:15

ALEX165 писал(а):Source of the post
Anik писал(а):Source of the post
Но, почему шарик должен придти во вращение если нет трения, и чем, в таком случае, задача с шариком сложнее задачи с шайбой?

Вы опять невнимательны, я же специально сказал что шарик С ТРЕНИЕМ (чтобы катился).
Задача с шариком проще потому, что проще найти реакцию опоры, она приложена в точке касания шарика, а не распределена по поверхности как у шайбы.
***Шайба всё равно не приляжет плотно к криволинейной поверхности конуса, и возможна её болтанка.

А шайба МАЛЕНЬКАЯ, значит размерами её пренебрегаем!

В таком случае, а шарик МАЛЕНЬКИЙ, значит размерами его пренебрегаем!
И какая тогда разница, катится шарик или нет?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 29 янв 2014, 17:22

Anik писал(а):Source of the post Это где же я такое заявлял?

Вот здесь:

Anik писал(а):Source of the post В конце концов наступает момент времени, когда центробежная сила станет равна по модулю силе тяжести шарика. При таком равенстве сил, шарик прекратит движение вниз и будет вращаться на неизменной высоте по окружности с радиусом . Эта окружность изображена на рисунке.

Я думаю, не надо сотый раз повторять, что такого развития событий, какое вы описали, не будет.

Вот, не люблю, когда начинают манипулировать ИСО и неИСО как напёрсточники. ИСО подразумевается одна - это лабораторная система отсчёта в которой наш конус неподвижен.

А вы что, простите, в этой неподвижной ИСО рассматриваете движение шарика?

yourdomain.com