Вместо шайбы удобнее рассмотреть шарик с массой
. Вначале шарик находится на основании конуса с радиусом
. Угол
между осью конуса и образующей равен
. Если шарик не имеет начальной скорости
, то он скатится по образующей с ускорением
и упадёт в отверстие.
Если задана скорость
, то шарик будет иметь начальный момент импульса
.
В процессе движения на шарик действует сила тяжести и центробежная сила. Равнодействующую этих двух сил, разложим на две составляющие: нормальную к поверхности конуса и касательную, направленную вдоль образующей к вершине конуса. Нормальная сила, гасится реакцией поверхности конуса, а касательная, направлена всегда в точку - вершину конуса. Таким образом, в процессе движения на шарик действует центральная сила с центром в вершине конуса.
Эта сила не создает вращающий момент сил относительно оси конуса, и не может изменять кинетический момент вращения шарика относительно оси конуса.
Далее, в процессе движения шарика по конусу вниз, радиус его вращения уменьшается, вместе с тем уменьшается его момент инерции относительно оси конуса, а т.к. момент импульса остаётся постоянным, то угловая (и линейная) скорость вращения шарика возрастают. С возрастанием угловой скорости, возрастает центробежная сила, прижимающая шарик к поверхности конуса, и возрастает его кинетическая энергия.
Кинетическая энергия шарика увеличивается потому, что сила тяжести совершает работу.
Приращение кинетической энергии шарика равно убыли его потенциальной энергии с высотой.
В конце концов наступает момент времени, когда центробежная сила станет равна по модулю силе тяжести шарика. При таком равенстве сил, шарик прекратит движение вниз и будет вращаться на неизменной высоте по окружности с радиусом
. Эта окружность изображена на рисунке.
Если
$$mg=F_ö$$, то их равнодействующая нормальна к поверхности конуса, а скатывающей вниз составляющей силы не будет.
Найдём линейную скорость вращения
.
Начальный момент импульса
, конечный -
, приравнивая, находим:
(*)
Найдём модуль центробежной силы
$$F_ö$$. (На рис. эта сила без нижнего индекса "ц").
$$F_ö=\frac{mV^2}{r}$$, подставим сюда значение
из (*), получим:
$$F_ö=\frac{mv^2R^2}{r^3}$$. Но,
$$F_ö=mg$$ по условию равновесия.
Подставляя, получим окончательно:
Таким образом мы нашли радиус окружности вращения. (Проверьте, пожалуйста.)