Движение шайбы по конусу

Anik · Сообщение **Anik** » 28 янв 2014, 16:47

Рубен писал(а):Source of the post
Но вы согласны хотя бы с тем, что без трения шарик вообще не скатится в отверстие в конусе, а будет вращаться по окружности на некоторой высоте?
Несогласен.

Вот момент истины! Я это докажу решив задачу с конусом и шайбой без трения.
Вот только необходим некоторый начальный момент импульса.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 28 янв 2014, 17:29

Anik писал(а):Source of the post Вот только необходим некоторый начальный момент импульса.

Конечно, при определенном (а не вообще каком нибудь) моменте импульса шарик будет вращаться по окружности на одной высоте. Величину момента не трудно посчитать.

Anik · Сообщение **Anik** » 29 янв 2014, 08:10

Вместо шайбы удобнее рассмотреть шарик с массой $$m$$

. Вначале шарик находится на основании конуса с радиусом $$R$$

. Угол $\alpha$ между осью конуса и образующей равен $$45^o$$

. Если шарик не имеет начальной скорости $$v$$

, то он скатится по образующей с ускорением $a=g\sin\alpha=\frac{\sqrt 2}{2}g$ и упадёт в отверстие.
Если задана скорость $$v$$

, то шарик будет иметь начальный момент импульса $$L=mvR$$

.
В процессе движения на шарик действует сила тяжести и центробежная сила. Равнодействующую этих двух сил, разложим на две составляющие: нормальную к поверхности конуса и касательную, направленную вдоль образующей к вершине конуса. Нормальная сила, гасится реакцией поверхности конуса, а касательная, направлена всегда в точку - вершину конуса. Таким образом, в процессе движения на шарик действует центральная сила с центром в вершине конуса.
Эта сила не создает вращающий момент сил относительно оси конуса, и не может изменять кинетический момент вращения шарика относительно оси конуса.
Далее, в процессе движения шарика по конусу вниз, радиус его вращения уменьшается, вместе с тем уменьшается его момент инерции относительно оси конуса, а т.к. момент импульса остаётся постоянным, то угловая (и линейная) скорость вращения шарика возрастают. С возрастанием угловой скорости, возрастает центробежная сила, прижимающая шарик к поверхности конуса, и возрастает его кинетическая энергия.
Кинетическая энергия шарика увеличивается потому, что сила тяжести совершает работу.
Приращение кинетической энергии шарика равно убыли его потенциальной энергии с высотой.

В конце концов наступает момент времени, когда центробежная сила станет равна по модулю силе тяжести шарика. При таком равенстве сил, шарик прекратит движение вниз и будет вращаться на неизменной высоте по окружности с радиусом $$r$$

. Эта окружность изображена на рисунке.
Если $$mg=F_ö$$, то их равнодействующая нормальна к поверхности конуса, а скатывающей вниз составляющей силы не будет.
Найдём линейную скорость вращения $$V$$

.
Начальный момент импульса $$mvR$$

, конечный - $$mVr$$

, приравнивая, находим: $V=\frac{vR}{r}$ (*)
Найдём модуль центробежной силы $$F_ö$$. (На рис. эта сила без нижнего индекса "ц").
$$F_ö=\frac{mV^2}{r}$$, подставим сюда значение $$V$$

из (*), получим:
$$F_ö=\frac{mv^2R^2}{r^3}$$. Но, $$F_ö=mg$$ по условию равновесия.
Подставляя, получим окончательно:

$r=\sqrt[3]{\frac{v^2R^2}{g}}$
Таким образом мы нашли радиус окружности вращения. (Проверьте, пожалуйста.)

Рубен · Сообщение **Рубен** » 29 янв 2014, 08:33

Решение неверное.

Найдём линейную скорость вращения .

Линейная скорость скользящего шарика будет направлена не ортогонально оси вращения, а под некоторым углом, и шарик будет с вертикальной составляющей скорости скользить вниз просто в силу инерции (при равенстве сил).

Скорость шарика должна быть в начальный момент направлена строго горизонтально и иметь строго определенное значение. Найдите величину горизонтальной скорости, которую должен иметь шарик, чтобы вращаться на окружности радиусом $$R$$

на конусе, угол раствора которого $\alpha$ . Решается практически в уме.

ALEX165 писал(а):Source of the post Лучше не отвлекаться на эту шайбу как таковую, можно лишь в отдельную тему выделить, а то тема про закрутку захлохнет уже в который раз без результата, а не хочется этого.

Не волнуйтесь, до вечера обязательно перенесу в отдельную тему.

Anik · Сообщение **Anik** » 29 янв 2014, 08:59

Рубен писал(а):Source of the post
Найдём линейную скорость вращения .
Линейная скорость скользящего шарика будет направлена не ортогонально оси вращения, а под некоторым углом, и шарик будет с вертикальной составляющей скорости скользить вниз просто в силу инерции (при равенстве сил).

Да, для скользящего вниз шарика это так. Там нужно находить кривизну пространственной кривой - спирали.
Но, для равновесного вращения шарика по окружности с радиусом $$r$$

его линейная скорость $$V$$

будет уже ортогональна оси конуса.

Рубен писал(а):Source of the post
Скорость шарика должна быть в начальный момент направлена строго горизонтально и иметь строго определенное значение.

Так у меня так и есть! См. рисунок. Там начальная скорость строго горизонтальна и имеет строго определённое значение, заданное значение $$v$$

.

Найдите величину горизонтальной скорости, которую должен иметь шарик, чтобы вращаться на окружности радиусом на конусе, угол раствора которого $\alpha$ . Решается практически в уме.

А это ещё для чего? Что это даст?
Можно ещё и такую начальную скорость вращения задать (строго горизонтально), что шарик начнёт двигаться не вниз по конусу, а вверх!

zam2 · Сообщение **zam2** » 29 янв 2014, 09:17

Шарик будет колебаться между нижним и верхним уровнями.
Траектория шарика будет примерно такой (вид сверху):

Anik · Сообщение **Anik** » 29 янв 2014, 09:38

zam2 писал(а):Source of the post
Шарик будет колебаться между нижним и верхним уровнями.
Траектория шарика будет примерно такой (вид сверху):

Вы что, составили дифференциальные уравнения движения и решили их?
Вот бы посмотреть!
***Откуда картинка?

zam2 · Сообщение **zam2** » 29 янв 2014, 09:46

Anik писал(а):Source of the post Вы что, составили дифференциальные уравнения движения и решили их?
Вот бы посмотреть!
***Откуда картинка?

Не составлял. Это по параграфу из Ландау-Лифшица "Движение в центральном поле". Там эти уравнения есть.
А картинку спер из какого-то учебника про модель атома Бора (розетка Бора-Зоммерфельда).

Anik · Сообщение **Anik** » 29 янв 2014, 09:51

zam2 писал(а):Source of the post
Anik писал(а):Source of the post Вы что, составили дифференциальные уравнения движения и решили их?
Вот бы посмотреть!
***Откуда картинка?
Не составлял. Это по параграфу из Ландау-Лифшица "Движение в центральном поле". Там эти уравнения есть.
А картинку спер из какого-то учебника про модель атома Бора (розетка Бора-Зоммерфельда).

Мне моя механическая интуиция подсказывает, что такое движение, как вы нарисовали, тоже возможно, но только в том случае, если начальная скорость шарика имеет составляющую, направленную к вершине конуса (а не только горизонтальную).

Anik · Сообщение **Anik** » 29 янв 2014, 10:04

zam2 писал(а):Source of the post
Это по параграфу из Ландау-Лифшица "Движение в центральном поле". Там эти уравнения есть.

Движение в центральном поле под действием силы обратно пропорциональной квадрату расстояния от центра, даёт эллиптическую орбиту с фокусом в центре силы, но она не прецессирует!
Похоже, что у Ландау там без ТО не обошлось.

yourdomain.com