Добрый день!
Вопрос: если попытка описать совершенный кубоид приводит к однородной системе из восьми линейных уравнений, определитель которой в общем виде не равен нулю, означает ли это, что возможны только нулевые решения?
Пифагоров кирпич
Пифагоров кирпич
Последний раз редактировалось Андрей А. 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Пифагоров кирпич
Андрей А. писал(а):Source of the post
если попытка описать совершенный кубоид приводит к однородной системе из восьми линейных уравнений
Линейных?!!! Это означает, что Ваша система не имеет к описанию ни малейшего касательства.
[quote=]Не верю[/quote]
Последний раз редактировалось bot 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Пифагоров кирпич
Быстро не получится, но я выложу. А Вы укажите на ошибку. Идет?
Последний раз редактировалось Андрей А. 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Пифагоров кирпич
Решим сначала в целых числах уравнение , где
Если четно, то квадраты в правой части не могут быть все нечетны, и наоборот, если нечетно, то в правой части есть хотя бы один нечетный квадрат. Иными словами, в правой части имеется квадрат той же четности, что и . Положим это , и находятся такие, что .
Тогда
Отсюда видно, что - четные, кроме того делят и являются числами того же вида. То есть находятся , для которых выполняется Отсюда Тут есть нюансы, но в любом случае тождество полностью описывает пропорциональные решения с коэффициентом или (в случае нечетных ).
Возьмем теперь кубоид с соответствующими ребрами и пространственной диаганалью. Запишем выражения для квадратов лицевых диаганалей:
Для решения задачи о совершенном кубоиде достаточно, чтобы во всех трех строках оказались целые квадраты. Для выражения такое утверждение равносильно следующему: существуют целые такие, что . Перепишем это как Решения такого уравнения известны: Записываем:
Для второй строки аналогично:
И для третьей:
Должны ли дроби быть сократимы - вопрос не главный, поскольку из рациональных решений всегда можно приготовить целые. Забывая на время о переменных , получаем однородную систему из восьми уравнений:
Относительно переменных система линейна, и определитель системы в общем виде не равен нулю:
Возникает мысь приравнять определитель к нулю и получить аргументы для системы с меньшим количеством уравнений, но тут я ни в чем не уверен. Отсюда и вопрос.
Если четно, то квадраты в правой части не могут быть все нечетны, и наоборот, если нечетно, то в правой части есть хотя бы один нечетный квадрат. Иными словами, в правой части имеется квадрат той же четности, что и . Положим это , и находятся такие, что .
Тогда
Отсюда видно, что - четные, кроме того делят и являются числами того же вида. То есть находятся , для которых выполняется Отсюда Тут есть нюансы, но в любом случае тождество полностью описывает пропорциональные решения с коэффициентом или (в случае нечетных ).
Возьмем теперь кубоид с соответствующими ребрами и пространственной диаганалью. Запишем выражения для квадратов лицевых диаганалей:
Для решения задачи о совершенном кубоиде достаточно, чтобы во всех трех строках оказались целые квадраты. Для выражения такое утверждение равносильно следующему: существуют целые такие, что . Перепишем это как Решения такого уравнения известны: Записываем:
Для второй строки аналогично:
И для третьей:
Должны ли дроби быть сократимы - вопрос не главный, поскольку из рациональных решений всегда можно приготовить целые. Забывая на время о переменных , получаем однородную систему из восьми уравнений:
Относительно переменных система линейна, и определитель системы в общем виде не равен нулю:
Возникает мысь приравнять определитель к нулю и получить аргументы для системы с меньшим количеством уравнений, но тут я ни в чем не уверен. Отсюда и вопрос.
Последний раз редактировалось Андрей А. 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Пифагоров кирпич
Андрей А. писал(а):Source of the post
Отсюда видно, что являются числами того же вида. То есть находятся , для которых выполняется
А это откуда следует?
Последний раз редактировалось Hottabych 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Пифагоров кирпич
А ниоткуда не следует, спасибо за хороший вопрос. Размышляя в одиночку, упускаешь очевидные вещи. Полагая , получаем уравнение , и конечно не является полным решением. Тему это не перечеркивает, просто ограничивает круг решений.
Полное решение вероятно можно получить из восьми переменных, сделав подстановку и довольно длинные выражения для . Если это придется ко двору, выложу конечно, но кажется легче исходить из решений Острика-Цфасмана (в конце книги), опуская рациональный коэффициент. Тогда квадраты лицевых диагоналей такие получаются:
Тут аналогичная система может еще проще оказаться.
Последний раз редактировалось Андрей А. 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Алгебра и теория чисел»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей