СЛАУ методом Гаусса

VecherniyUchenik

Добрый вечер, уважаемые математики.

Требуется оперативная помощь в разборе решения СЛАУ методом Гаусса.
Я пересмотрел кучу материала, но так и не могу вывести правильное решение.
Подскажите, что я делаю не так?

Вот уравнение:
$\left{ 2x - y + 2z = 3$
$$ x + y + 2z = -4$$

Я проверяю определитель главной матрицы

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 4\end{pmatrix}$

$$2*1*4+1*1*2-1*2*4-2*1*4+1*1*4-2*1*2= 8+2-8-8+4 = -6$$

Далее переставляю строки 1 и 2 местами

$\left{ x + y + 2z = -4$
$$2x - y + 2z = 3 $$

умножаю первую строку на
$- \frac {2} {1}$
и складываю ее со второй строкой,
потом умножаю снова первую строку на
$- \frac {4} {1}$
и складываю ее с третьей строкой, получаю следующее:

$$x + y + 2z = -4$$

И все! Дальше у меня дело не идет. И вообще, правильно ли я умножал строки на числа?

zykov · Сообщение **zykov** » 14 дек 2013, 18:48

VecherniyUchenik писал(а):Source of the post И вообще, правильно ли я умножал строки на числа?

Не знаю, правильно ли умножали (как тут вообще можно ошибится?), но результат умножения и сложения неверный.
Напишите подробнее, что делали.

VecherniyUchenik

zykov писал(а):Source of the post
VecherniyUchenik писал(а):Source of the post И вообще, правильно ли я умножал строки на числа?
Не знаю, правильно ли умножали (как тут вообще можно ошибится?), но результат умножения и сложения неверный.
Напишите подробнее, что делали.

Извините конечно, но так же, как и вы, в слове ошибитЬся ))
Так и я ошибаюсь в том, чем не занимаюсь ежедневно.

Давайте подробнее, хотя все подробно написал.
После того, как поменял местами уравнения, могу умножить на дробь и вычесть или на целое число с минусом и складываю. Будем считать складываю...

Умножаю первую строчку на (-2) и складываю со второй строчкой, получаю

$\\-2*1+2=0 \\ -2*1+(-1)=-3 \\ -2*2+2=-2$

Далее умножаю первую строчку на (-4) и складываю с третьей строчкой

$\\1*(-4)+4=0\\1*(-4)+1=-3\\2*(-4)+4=-4\\$

Получаем уравнение вида

$\\x+y+2z=-4\\-y+2z=3\\y+4z=-3\\$

получаю вот такую матрицу

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & -2 \\ 0 & -3 & -4\end{pmatrix}$

Далее, домножаем вторую строчку матрицы на (-1),складываем с третьей и получаем матрицу

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}$

Теперь уравнение имеет вид такой

$\\x+y+2z=3\\-3y-2z=-4\\-2z=-3\\$

и что дальше делать?

Найду пока Z - $\\-2z=-3\\z=-3+2=-1$

Найду Y - $\\-3y-2z=-4\\-3y+2*(-1)=-4\\-1y=-4\\y=-4+1=-3$

И теперь найти надо X, а что-то не получается...

$\\x+y+2z=3\\x+(-3)+2*(-1)=3$

zykov · Сообщение **zykov** » 14 дек 2013, 19:38

Опять ерунда какая-то...
Возмите $$x + y + 2z = -4$$

, умножте на -2 и покажите, что получилось (элементарное упражнение на уровне начальной школы).
Возмите свой результат, сложите с $$2x - y + 2z = 3 $$

и покажите, что получилось.

zam2 · Сообщение **zam2** » 14 дек 2013, 19:41

Вот система:
$x + y + 2z = -4 \\ 2x - y + 2z = 3 \\ 4x + y + 4z = -3$

Умножаю первую строчку на (-2). Получаю

$$ -2x -2y - 4z = 8$$

складываю со второй строчкой, получаю

$-2x -2y - 4z = 8 \\ + \\ 2x - y + 2z = 3 \\ ------------------------- \\ -3y -2z = 11$
Это новая вторая строка. Ну и так далее.
Определитель считать было совсем необязательно.

VecherniyUchenik

zykov писал(а):Source of the post
Опять ерунда какая-то...
Возмите , умножте на -2 и покажите, что получилось (элементарное упражнение на уровне начальной школы).
Возмите свой результат, сложите с и покажите, что получилось.

Ну вот, оказывается, что и стобик свободных членов умножать надо, а на Вики и не трогают их в примере.
Я просил то, что показал Zam2, вот и все. А с минусами ОЧЕНЬ ЧАСТО путается даже преподаватель в институте.

VecherniyUchenik

А вам не кажется, что в исходном СЛАУ знаки не верно стоят?

Я получил x=1 ;y=-3; z=-1

Но, ведь только так получится....

$\\2*1+3+2*(-1)=3\\1-3+2*(-1)=-4\\4*1-3+4*(-1)=-3\\$

а в исходном-то знаки другие!!!

$\\2x - y + 2z = 3 \\ x + y + 2z = -4\\4x + y + 4z = -3\\$

zam2 · Сообщение **zam2** » 14 дек 2013, 20:36

VecherniyUchenik писал(а):Source of the post А вам не кажется, что в исходном СЛАУ знаки не верно стоят?

Как могут быть перепутаны знаки в исходной системе? Она же ИСХОДНАЯ! То есть, задание, которое нужно решить.
Подстановка вашего решения в исходную систему показывает, что решение верное. Скорее всего, в процессе решения вы переставили местами первое и второе уравнения, что совершенно не страшно.

VecherniyUchenik

zam2 писал(а):Source of the post
VecherniyUchenik писал(а):Source of the post А вам не кажется, что в исходном СЛАУ знаки не верно стоят?
Как могут быть перепутаны знаки в исходной системе? Она же ИСХОДНАЯ! То есть, задание, которое нужно решить.
Подстановка вашего решения в исходную систему показывает, что решение верное. Скорее всего, в процессе решения вы переставили местами первое и второе уравнения, что совершенно не страшно.

Ну да, я менял 1 и 2 уравнение местами. Но почему при проверке знаки не те, что в исходном?
Такие мелочи, казалось бы, а из-за них я туплю.

zam2 · Сообщение **zam2** » 14 дек 2013, 20:55

VecherniyUchenik писал(а):Source of the post Ну да, я менял 1 и 2 уравнение местами. Но почему при проверке знаки не те, что в исходном?
Такие мелочи, казалось бы, а из-за них я туплю.

Не понимаю вопроса.
Вот исходная система уравнений:
$\left{ 2x - y + 2z = 3$
$$ x + y + 2z = -4$$

Вот ваше решение: x=1; y=-3; z=-1
Подстановка решения в исходную систему дает три тождества.
Какие знаки "не те, что в исходном"?

yourdomain.com