Решить уравнение

Ian · Сообщение **Ian** » 18 сен 2013, 10:22

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
1. $\displaystyle \sin(\sqrt{2}\cos x) = \cos(\sqrt{2}\sin x)$ В ответе $\displaystyle x = (-1)^n \arcsin \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$

Прекрасное решение, только в конце подвело

$\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{\pi}{4} + \pi n \\ \sin \left(\frac{\pi}{4} - x \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$

И вот в этом месте , прежде чем употребить арксинус, надо проверить что "синус" не больше 1 по модулю. Это дает что в обоих вариантах n=0. Еще у окончания был тот недостаток, что раз одна произвольная переменная обозначена n, вторая произвольная переменная, независимая от первой, должна быть обозначена другой буквой

$\displaystyle \begin{aligned} \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = (-1)^m \arcsin \left(\frac{\pi}{4} + \pi n \right) + \pi m \\ \left(\frac{\pi}{4} - x \right) = (-1)^ m \arcsin \left(\frac{\pi}{4} + \pi n \right) + \pi m \end{aligned} \Leftrightarrow$

Но теперь об этом уже не надо беспокоиться, раз первое введенное n превратилось в конкретный ноль)

2. $\displaystyle \frac{2}{\tg x + \ctg x} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \Leftrightarrow \sin 2x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2x = (-1)^n \arcsin\left((-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \right) \Leftrightarrow$

Та же история. Отбросить все n, при которых под арксинусом оказалось число больше 1 по модулю. А потом снова появится еще одна произвольная переменная и ее обозначить за n
---
Все это уже написали, просто не заметил)

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 18 сен 2013, 13:52

Ian писал(а):Source of the post
Все это уже написали, просто не заметил)

Просто несколько человек почти синхронно выступили единым фронтом. А за напоминание о независимых переменных - отдельное спасибо Вам!

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 19 сен 2013, 18:09

Внес изменения, проверьте пожалуйста, так как у меня есть сомнения по поводу стопроцентной точности.

$\displaystyle \sin(\sqrt{2}\cos x) - \sin \left(\frac{\pi}{2} - \sqrt{2}\sin x \right) = 0 \Leftrightarrow 2 \sin \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\pi}{4} \right) \cos \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \Leftrigtarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\pi}{4} \right) = 0 \\ \cos \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\pi}{4} \right) = 0 \\ \cos \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\pi}{4} \right) = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\pi}{4} \right) = \pi n \\ \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{\pi}{4} + \pi n \\ \sin \left(x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{\pi}{4} + \pi n \\ \sin \left(x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{3\pi}{4} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} -1 \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le 1 \\ -1 \le \frac{3\pi}{4} + \pi n \le 1 \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} -1 \le \frac{\pi}{4}(4n + 1) \le 1 \\ -1 \le \frac{\pi}{4}(4n + 3) \le 1 \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} n = 0 \\ n = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{\pi}{4} \\ \sin \left(x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{4} \right) + \pi k \\ \left(x - \frac{\pi}{4} \right) = (-1)^ k \arcsin \left(-\frac{\pi}{4} \right) + \pi k \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} x = (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{4} \right) - \frac{\pi}{4} + \pi k \\ x = (-1)^ k \arcsin \left(-\frac{\pi}{4} \right) + \frac{\pi}{4} + \pi k \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} x = (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{4} \right) - \frac{\pi}{4} + \pi k \\ x = (-1)^ {k + 1} \arcsin \left(\frac{\pi}{4} \right) + \frac{\pi}{4} + \pi k \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle x = (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{4} \right) \pm \frac{\pi}{4} + \pi k$

2. $\displaystyle \frac{2}{\tg x + \ctg x} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \Leftrightarrow \sin 2x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \Leftrightarrow$ $\displaystyle -1 \le (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \le1$

$\displaystyle n = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \pm \frac{\pi}{3}$

$\displaystyle 2x = (-1)^k \arcsin \left(\pm \frac{\pi}{3} \right) + \pi k \Leftrightarrow \begin{aligned} x = \frac{1}{2} \cdot (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi k}{2} \\ x = \frac{1}{2} \cdot (-1)^k \arcsin \left(-\frac{\pi}{3} \right) +\frac{\pi k}{2} \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} x = \frac{1}{2} \cdot (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi k}{2} \\ x = \frac{1}{2} \cdot (-1)^{k + 1} \arcsin \left(\frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi k}{2} \end{aligned} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \cdot (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi k}{2}$

Сомнения у меня по поводу решения этих неравенств и я не понимаю одного (главная идея ясна, зачем эти неравенства нужны, но суть их самих непонятна): как может синус/косинус/др. триг.ф-ции равнятся УГЛУ и в каких единицах измерения мне предстaвлять эти двойные неравенства (например, угол пи эн + пи эн, деленный на два, не меньше минус одного и не больше одного. Одного "чего"?): как можно смешивать различные размерности и как решать такие неравенства по отношению к постоянной? Как решение выглядит геометрически (на единичной окружности)? Короче, не понимаю, как такие неравенства решаются, объясните, пожалуйста.

zam2 · Сообщение **zam2** » 19 сен 2013, 18:42

ILJA Sh. писал(а):Source of the post ... я не понимаю одного (главная идея ясна, зачем эти неравенства нужны, но суть их самих непонятна): как может синус/косинус/др. триг.ф-ции равнятся УГЛУ и в каких единицах измерения мне предстaвлять эти двойные неравенства.

Полностью согласен. Исходное выражение из задания выглядит крайне уродливо. Не встречаются такие вещи в приложениях математики.
А единиц измерений здесь нет. Любая переменная это число (безразмерное). Углы в радианах.

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 20 сен 2013, 15:02

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Внес изменения, проверьте пожалуйста, так как у меня есть сомнения по поводу стопроцентной точности.

$\displaystyle \sin(\sqrt{2}\cos x) - \sin \left(\frac{\pi}{2} - \sqrt{2}\sin x \right) = 0 \Leftrightarrow 2 \sin \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\pi}{4} \right) \cos \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \Leftrigtarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\pi}{4} \right) = 0 \\ \cos \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\pi}{4} \right) = 0 \\ \cos \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\pi}{4} \right) = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\pi}{4} \right) = \pi n \\ \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{\pi}{4} + \pi n \\ \sin \left(x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{\pi}{4} + \pi n \\ \sin \left(x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{3\pi}{4} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} -1 \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le 1 \\ -1 \le \frac{3\pi}{4} + \pi n \le 1 \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} -1 \le \frac{\pi}{4}(4n + 1) \le 1 \\ -1 \le \frac{\pi}{4}(4n + 3) \le 1 \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} n = 0 \\ n = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{\pi}{4} \\ \sin \left(x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{4} \right) + \pi k \\ \left(x - \frac{\pi}{4} \right) = (-1)^ k \arcsin \left(-\frac{\pi}{4} \right) + \pi k \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} x = (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{4} \right) - \frac{\pi}{4} + \pi k \\ x = (-1)^ k \arcsin \left(-\frac{\pi}{4} \right) + \frac{\pi}{4} + \pi k \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} x = (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{4} \right) - \frac{\pi}{4} + \pi k \\ x = (-1)^ {k + 1} \arcsin \left(\frac{\pi}{4} \right) + \frac{\pi}{4} + \pi k \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle x = (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{4} \right) \pm \frac{\pi}{4} + \pi k$

2. $\displaystyle \frac{2}{\tg x + \ctg x} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \Leftrightarrow \sin 2x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \Leftrightarrow$ $\displaystyle -1 \le (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \le1$

$\displaystyle n = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \pm \frac{\pi}{3}$

$\displaystyle 2x = (-1)^k \arcsin \left(\pm \frac{\pi}{3} \right) + \pi k \Leftrightarrow \begin{aligned} x = \frac{1}{2} \cdot (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi k}{2} \\ x = \frac{1}{2} \cdot (-1)^k \arcsin \left(-\frac{\pi}{3} \right) +\frac{\pi k}{2} \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} x = \frac{1}{2} \cdot (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi k}{2} \\ x = \frac{1}{2} \cdot (-1)^{k + 1} \arcsin \left(\frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi k}{2} \end{aligned} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \cdot (-1)^k \arcsin \left(\frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi k}{2}$

Сомнения у меня по поводу решения этих неравенств и я не понимаю одного (главная идея ясна, зачем эти неравенства нужны, но суть их самих непонятна): как может синус/косинус/др. триг.ф-ции равнятся УГЛУ и в каких единицах измерения мне предстaвлять эти двойные неравенства (например, угол пи эн + пи эн, деленный на два, не меньше минус одного и не больше одного. Одного "чего"?): как можно смешивать различные размерности и как решать такие неравенства по отношению к постоянной? Как решение выглядит геометрически (на единичной окружности)? Короче, не понимаю, как такие неравенства решаются, объясните, пожалуйста.

?

[url=http://mat.1september.ru/2001/07/no07_2.htm]http://mat.1september.ru/2001/07/no07_2.htm[/url] - а также интересны Ваши комментарии к этому (мое мнение - очень интересно и занимательно с точки зрения упражения для ума и развития находчивости, потому и хочется разобраться)

zam2 · Сообщение **zam2** » 20 сен 2013, 16:45

ILJA Sh. писал(а):Source of the post ?

[url=http://mat.1september.ru/2001/07/no07_2.htm]http://mat.1september.ru/2001/07/no07_2.htm[/url] - а также интересны Ваши комментарии к этому (мое мнение - очень интересно и занимательно с точки зрения упражения для ума и развития находчивости, потому и хочется разобраться)

Это мне вопрос?
Не нужно к моему мнению относиться слишком всерьез. Я не профессиональный математик, хотя использую математику в работе.
Я не смог придумать ни одной ситуации, где бы потребовалось вычислять синус от косинуса.
Тут, мне кажется, есть аналогия с шахматами (с шахматной композицией). У составителей шахматных задач высшим шиком считается задача, начальная позиция которой как бы возникла из практической партии.

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 20 сен 2013, 19:18

zam2 писал(а):Source of the post
Это мне вопрос?

вопрос ко всякому, кто ответит Но если Вы уж ответили, то не могли бы еще проверить вот те 2 решения - там правильно всё или есть некорректности?

Ian · Сообщение **Ian** » 21 сен 2013, 09:16

ILJA Sh. писал(а):Source of the post Сомнения у меня по поводу решения этих неравенств и я не понимаю одного (главная идея ясна, зачем эти неравенства нужны, но суть их самих непонятна): как может синус/косинус/др. триг.ф-ции равнятся УГЛУ и в каких единицах измерения мне предстaвлять эти двойные неравенства (например, угол пи эн + пи эн, деленный на два, не меньше минус одного и не больше одного. Одного "чего"?): как можно смешивать различные размерности и как решать такие неравенства по отношению к постоянной? Как решение выглядит геометрически (на единичной окружности)? Короче, не понимаю, как такие неравенства решаются, объясните, пожалуйста.

1.Все там правильно
2.Ну предположим предъявили Вы там свой первый вариант решения, где n равно не только нулю, и введена еще одна произвольная m. Некто по этому пытается написать побольше конкретных решений, придавая n и m различные значения. Но вот незадача: как только n отлично от нуля, ему надо найти арксинус от числа больше 1 по модулю, никто не знает чему он равен. точнее он ничему не равен, и никакого числа х в ответе не получается. Значит это решение отличается от верного как золотой песок от золота, ценность то имеет, но мороки с ним...
3.Это почему же длина дуги и длина отрезка имеют разные размерности? Из жизни, например, уравнение физического маятника $x''=-\sin x$

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 21 сен 2013, 11:29

1.А не могли бы Вы заглянуть в ты ссылку, объяснение решения уравнения в примере 14: "так как k и m целые числа, то равенство выполняется, если k и m равны нулю" . Звучит для меня, как " в огороде бузина, а в Киеве дядько". Ведь это равенство выполняется уже потому, что это равенство, то есть k приравнен к выражению с m, почему же только при нуле оно выполняется? Неясно.

2. Еще один перл: "покажем, что $\displaystyle \sqrt{x + 1} < 2 \pi n$ . Так как $\displaystyle \frac{4 \pi^2 n^2 + 1}{4 \pi n} < 2 \pi n$ , $\displaystyle \frac{-4 \pi^2 n^2 + 1}{4 \pi n} < 0$ , которое выполнятся при всех $n \in \mathbb{N}$ ". С какого перепугу там появилось минус четыре пи квадрат эн квадрат? А нуль - это угол два пи эн?

3.Пример 16." Равенство $\displaystyle \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{\pi}{2} \sin \left(\frac{\pi}{2} + \pi k \right)$ выполняется только при k = 0 и k = -1". А я подставил k = 2 , например, и тоже всё сошлось.

jarik · Сообщение **jarik** » 21 сен 2013, 14:15

ILJA Sh. писал(а):Source of the post С какого перепугу там появилось минус четыре пи квадрат эн квадрат? А нуль - это угол два пи эн?

$\displaystyle \frac{4\pi^2n^2+1}{4\pi n}<2\pi n\to \frac{4\pi^2n^2+1}{4\pi n}-2\pi n<0\to \frac{4\pi^2n^2+1}{4\pi n}-\frac{8\pi^2 n^2}{4\pi n}<0\to$

$\displaystyle\to \frac{4\pi^2n^2+1-8\pi^2 n^2}{4\pi n}<0$

yourdomain.com