Решить уравнение

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 12 сен 2013, 16:11

Первый и последний.
Второй и предпоследний.
Третий с начала и третий с конца...

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 12 сен 2013, 17:17

Andrew58 писал(а):Source of the post
Первый и последний.
Второй и предпоследний.
Третий с начала и третий с конца...

Я как раз и спрашивал о членах "с конца" - выглядит ли ряд так, как я его написал - если да, то в условии это представленно весьма двусмысленно.

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 13 сен 2013, 16:27

Andrew58 писал(а):Source of the post
Первый и последний.
Второй и предпоследний.
Третий с начала и третий с конца...

Решил. Получилось $\displaystyle x = - 1 \pm \sqrt{40}$ Правильно?

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 15 сен 2013, 09:00

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Решил. Получилось $\displaystyle x = - 1 \pm \sqrt{40}$ Правильно?

Последовательность в левой части уравнения имеет смысл при натуральном $$x$$

, разве не так?

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 16 сен 2013, 16:12

Andrew58 писал(а):Source of the post
ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Решил. Получилось $\displaystyle x = - 1 \pm \sqrt{40}$ Правильно?

Последовательность в левой части уравнения имеет смысл при натуральном , разве не так?

Ой, там по рассеяности напортачил на этапе непосредственных вычислений. Ответ - 39

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 16 сен 2013, 16:57

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Ой, там по рассеяности напортачил на этапе непосредственных вычислений. Ответ - 39

Не 19?

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 18 сен 2013, 08:32

Требуется решить вот такие тригонометрические ур-ния со сложным аргументом:

1. $\displaystyle \sin(\sqrt{2}\cos x) = \cos(\sqrt{2}\sin x)$ В ответе $\displaystyle x = (-1)^n \arcsin \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$

2. $\displaystyle \sin \frac{2}{\tg x + \ctg x} = \frac{1}{2}$ В ответе $\displaystyle x = (-1)^n \frac{1}{2} \cdot \arcsin \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{2} + \pi n$

1. Не придумал ничего, кроме как воспользоваться формулами приведения и преобразования суммы/разности в произведение и получилось:

$\displaystyle \sin(\sqrt{2}\cos x) - \sin \left(\frac{\pi}{2} - \sqrt{2}\sin x \right) = 0 \Leftrightarrow 2 \sin \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\pi}{4} \right) \cos \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \Leftrigtarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\pi}{4} \right) = 0 \\ \cos \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\pi}{4} \right) = \pi n \\ \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{\pi}{4} + \pi n \\ \sin \left(\frac{\pi}{4} - x \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = (-1)^n \arcsin \left(\frac{\pi}{4} + \pi n \right) + \pi n \\ \left(\frac{\pi}{4} - x \right) = (-1)^ n \arcsin \left(\frac{\pi}{4} + \pi n \right) + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} x = (-1)^n \arcsin \left(\frac{\pi}{4} + \pi n \right) - \frac{\pi}{4} + \pi n \\ x = \frac{\pi}{4} - (-1)^ n \arcsin \left(\frac{\pi}{4} + \pi n \right) - \pi n \end{aligned}$

2. $\displaystyle \frac{2}{\tg x + \ctg x} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \Leftrightarrow \sin 2x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2x = (-1)^n \arcsin\left((-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \right) \Leftrightarrow x = (-1)^n \frac{1}{2} \cdot \arcsin \left((-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \right)$

Помогите, пожалуйста

kiv · Сообщение **kiv** » 18 сен 2013, 08:50

Скажу откровенно - я просто бросил взгляд, и не разбирался в выкладках. Но насторожило то, что в конце арксинус берется от чего-то, явно выламывающегося за пределы [-1,1]...

Или, как в том анекдоте - "в военное время синус может достигать двух с половиной"?...

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 18 сен 2013, 08:52

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
$\displaystyle \begin{aligned} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\pi}{4} \right) = \pi n \\ \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{\pi}{4} + \pi n \\ \sin \left(\frac{\pi}{4} - x \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$
2.
$\displaystyle 2x = (-1)^n \arcsin\left((-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \right) \Leftrightarrow x = (-1)^n \frac{1}{2} \cdot \arcsin \left((-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \right)$

Помогите, пожалуйста

Синус по модулю не может быть больше единицы - отсеките то, что явно решений не имеет.

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 18 сен 2013, 09:45

Если заинтересует, откуда задания и тематика, то ссылка вот:

[url=http://mat.1september.ru/2001/07/no07_2.htm]http://mat.1september.ru/2001/07/no07_2.htm[/url]

Andrew58 писал(а):Source of the post
ILJA Sh. писал(а):Source of the post
$\displaystyle \begin{aligned} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x -\frac{\pi}{4} \right) = \pi n \\ \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} \sin \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{\pi}{4} + \pi n \\ \sin \left(\frac{\pi}{4} - x \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$
2.
$\displaystyle 2x = (-1)^n \arcsin\left((-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \right) \Leftrightarrow x = (-1)^n \frac{1}{2} \cdot \arcsin \left((-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \right)$

Помогите, пожалуйста

Синус по модулю не может быть больше единицы - отсеките то, что явно решений не имеет.

1.А можно глупый вопрос: я как-то не узреваю, что арксинус выпирает за ОДЗ, укажите, пожалуйста, какое место уравнения за это ответственно.

2.И еще: пример 6 из той же ссылки. Объясните, пожалуйста, каким образом из того двойного неравенства получили, что число равно либо 0 либо -1, а то я чего-то не могу разобраться

yourdomain.com