Текстовые задания

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 02 июн 2013, 11:53

Сумму всех чётных двузначных чисел разделили без остатка на одно из них. Найти делитель, если известно, что сумма его цифр равна 9, а частное отличается от делителя только порядком цифр.

Мои рассуждения: первая фраза означает сумму первых 45 членов арифметической прогрессии с разницей в 2, начиная с 10 и заканчивая 98. Сумма равна 2430. Вторая фраза даёт нам второе уравнение и система примет вид $\displaystyle \begin{aligned} \frac{2430}{2(10x + y)} = 10y + x \\ x + y = 9 \end{aligned}$ . Но квадратное уравнение, к к-рому я пришел не имеет решений в целых числах. Что не так?

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 02 июн 2013, 12:07

Albe писал(а):Source of the post
Тогда, вообще бред с первым уравнением. Если переменные - времена, то первое уравнение не верно, т.к. левая часть имеет размерность обратного времени (т.е. 1/время), а правая - размерность времени

Не понимаю, почему там размерности по Вашему разные. $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy}$ это совокупная производительность, $\displaystyle 1 : \left(\frac{x + y}{xy}\right) = \frac{xy}{x + y}$ - совокупное время исходя из совокупной производительности. Но я нашел у себя другую ошибкy, к-рaя, однако, не влияет на результат. Так как скорость заполнения ванны краном меньше на величину скорости ухода воду через люк, то, поскольку $\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy}$ система имеет вид $\displaystyle \begin{aligned} \frac{xy}{y - x} = \frac{3}{5} \\ \frac{1}{10} \left(\frac{xy}{y - x} \right) + \frac{1}{6x} = 1 \end{aligned}$

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 02 июн 2013, 19:31

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Сумму всех чётных двузначных чисел разделили без остатка на одно из них. Найти делитель, если известно, что сумма его цифр равна 9, а частное отличается от делителя только порядком цифр.

Мои рассуждения: первая фраза означает сумму первых 45 членов арифметической прогрессии с разницей в 2, начиная с 10 и заканчивая 98. Сумма равна 2430. Вторая фраза даёт нам второе уравнение и система примет вид $\displaystyle \begin{aligned} \frac{2430}{2(10x + y)} = 10y + x \\ x + y = 9 \end{aligned}$ . Но квадратное уравнение, к к-рому я пришел не имеет решений в целых числах. Что не так?

Миль пардон, уже не надо

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 03 июн 2013, 16:04

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Сумму всех чётных двузначных чисел разделили без остатка на одно из них. Найти делитель, если известно, что сумма его цифр равна 9, а частное отличается от делителя только порядком цифр.

Мои рассуждения: первая фраза означает сумму первых 45 членов арифметической прогрессии с разницей в 2, начиная с 10 и заканчивая 98. Сумма равна 2430. Вторая фраза даёт нам второе уравнение и система примет вид $\displaystyle \begin{aligned} \frac{2430}{2(10x + y)} = 10y + x \\ x + y = 9 \end{aligned}$ . Но квадратное уравнение, к к-рому я пришел не имеет решений в целых числах. Что не так?

Миль пардон, уже не надо

Я тут снова просмотрел свое решение и все же решил попросить Вас проверить его

Первая фраза означает сумму первых 45 членов арифметической прогрессии с разницей в 2, начиная с 10 и заканчивая 98. Сумма равна 2430. Поскольку речь, очевидно, идет о ВСЕХ двузначных четных, включая отрицательные, то в итоге эта сумма равна 4860. Остальные условия дают нам систему $\displaystyle \begin{aligned} \frac{4860}{2(10x + y)} = 10y + x \\ x + y = 9 \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} y^2 - 9y + 20 = 0 \\ x = 9 - y \end{aligned} \rightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} y_1 = 5, y_2 = 4 \\ x_1 = 4, x_2 = 5 \end{aligned} \rightarrow$ . Возможны 2 случая: либо $\displaystyle 10y + x = 10 \cdot 5 + 4 = 54$ (частное), и тогда $\displaystyle 10x + y = 10 \cdot 4 + 5 = 45$ (делитель) либо $\displaystyle 10y + x = 10 \cdot 4 + 5 = 45$ (частное) , и тогда $\displaystyle 10x + y = 10 \cdot 5 + 4 = 54$ (делитель). По условию делитель четный. Значит, он равен 54.

Правильные рассуждения?

Albe · Сообщение **Albe** » 03 июн 2013, 18:15

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Не понимаю, почему там размерности по Вашему разные.

Да, одинаковые, ошибся.

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Так как скорость заполнения ванны краном меньше на величину скорости ухода воду через люк, то, поскольку $\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy}$ система имеет вид $\displaystyle \begin{aligned} \frac{xy}{y - x} = \frac{3}{5} \\ \frac{1}{10} \left(\frac{xy}{y - x} \right) + \frac{1}{6x} = 1 \end{aligned}$

Правильно. Только, наверное, надо так:
$\displaystyle \begin{aligned} \frac{yx}{y-x} = \frac{3}{5} \\ \frac{1}{10} \left(\frac{y-x}{yx} \right) + \frac{1}{6x} = 1 \end{aligned}$

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Я тут снова просмотрел свое решение и все же решил попросить Вас проверить его

По условию делитель четный. Значит, он равен 54.

Правильные рассуждения?

Да

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 04 июн 2013, 15:24

Albe писал(а):Source of the post

Правильно. Только, наверное, надо так:
$\displaystyle \begin{aligned} \frac{yx}{y-x} = \frac{3}{5} \\ \frac{1}{10} \left(\frac{y-x}{yx} \right) + \frac{1}{6x} = 1 \end{aligned}$

Да, разумеется - там опечатка.

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 06 июн 2013, 14:23

Через некоторое время вернулся и во второй раз решил одну задачу. Возникла одна непонятка.
Условие: Катер за 2 ч проплыл в озере а км и по реке, впадающей в озеро, 0.5а км. Скорость течения реки - 3 км\ч. Какова собственная скорость катера.

Пришел к уравнению $\displaystyle 4x^2 - 3(a + 4) + 6a = 0 \rightarrow x = \frac{3(a + 4) \pm \sqrt{9(a + 4)^2 - 96a}}{2} = \frac{3(a + 4) \pm \sqrt{9(a - 4)^2 + 48a}}{2}$ .

Из теоремы Виета следует, что при всех допустимых значениях а корни данного уравнения одноименные и, кроме того, положительные. Но в выражении для корней второе слагаемое числителя (радикал) при любом допустимом значении параметра все время больше первого и поэтому второй корень (с минусом) ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ. Почему возникло такое противоречие?

Albe · Сообщение **Albe** » 06 июн 2013, 15:58

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Почему возникло такое противоречие?

Потому что уравнение неправильно составили.

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 06 июн 2013, 16:43

Albe писал(а):Source of the post
ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Почему возникло такое противоречие?

Потому что уравнение неправильно составили.

Как это? х - собственная скорость, тогда х - 3 - скорость против течения (река впадает в озеро, значит, двигаясь ИЗ озера по ней, тело идет ПРОТИВ течения или как?) Приходим к уравнению

$\displaystyle \frac{a}{x} + \frac{0.5a}{x - 3} = 2 \Leftrightarrow 2a(x - 3) + ax = 4x(x - 3) \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2ax - 6a + ax = 4x^2 - 12x \Leftrightarrow 4x^2 - 12x - 3ax + 6a = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle 4x^2 - 3x(a + 4) + 6a = 0 \Leftrightarrow 4x^2 - 3(a + 4)x + 6a = 0 \rightarrow$

$\displaystyle D = 9(a + 4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6a = 9(a + 4)^2 - 96a \rightarrow$

$\displaystyle x = \frac{3(a + 4) \pm \sqrt{9(a + 4)^2 - 96a}}{8} = \frac{3(a + 4) \pm \sqrt{9(a - 4)^2 + 48a}}{8}$

Что тут было не так? По нескольку раз просмотрел и каждый шаг проследил и вроде все логично :blink: :blink: В ответе, кстати, число $\displaystyle \frac{3(a + 4) + \sqrt{9(a - 4)^2 + 48a}}{8}$

Albe · Сообщение **Albe** » 06 июн 2013, 19:52

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Пришел к уравнению $\displaystyle 4x^2 - 3(a + 4) + 6a = 0 \rightarrow x = \frac{3(a + 4) \pm \sqrt{9(a + 4)^2 - 96a}}{2} = \frac{3(a + 4) \pm \sqrt{9(a - 4)^2 + 48a}}{2}$ .

Из теоремы Виета следует, что при всех допустимых значениях а корни данного уравнения одноименные и, кроме того, положительные. Но в выражении для корней второе слагаемое числителя (радикал) при любом допустимом значении параметра все время больше первого и поэтому второй корень (с минусом) ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ. Почему возникло такое противоречие?

Неправильный вывод.
Внимательно посмотрите ещё раз на корни
$x = \frac{3(a + 4) \pm \sqrt{9(a + 4)^2 - 96a}}{2}$

yourdomain.com