Сумма произведения всех комбинаций корней из единицы

Vector · Сообщение **Vector** » 21 май 2013, 17:57

Подскажите пожалуйста как доказать что сумма произведений любых следующих комбинаций корней из единицы равна нулю?

$\sum\limits_{1 \le {i_1} < {i_2} < , \ldots , < {i_m} \le n} {{\omega ^{{i_1}}}{\omega ^{{i_2}}} \ldots {\omega ^{{i_m}}}} = 0,\;\forall m < n; n,m \in \mathbb{N},$

где $\omega = \exp \left( {2\pi \sqrt { - 1} /n} \right)$ .

Спасибо!

VAL · Сообщение **VAL** » 21 май 2013, 18:24

Vector писал(а):Source of the post
Подскажите пожалуйста как доказать что сумма произведений любых следующих комбинаций корней из единицы равна нулю?

$\sum\limits_{1 \le {i_1} < {i_2} < , \ldots , < {i_m} \le n} {{\omega ^{{i_1}}}{\omega ^{{i_2}}} \ldots {\omega ^{{i_m}}}} = 0,\;\forall m < n; n,m \in \mathbb{N},$

где $\omega = \exp \left( {2\pi \sqrt { - 1} /n} \right)$ .

По формулам Виета, например.

Vector · Сообщение **Vector** » 21 май 2013, 18:30

VAL писал(а):Source of the post
По формулам Виета, например.

Нужно показать, что коэффициенты полинома, кроме младшего, равны нулю? Т.е. там вообще получается по определению самих корней это равенство выполняется.
Спасибо! Понял.

yourdomain.com