Функция из Q в Z

[Xenia1996]

Во всех рациональных точках вещественной прямой расставлены целые числа. Доказать, что найдётся отрезок, сумма чисел на концах которого не превосходит удвоенного числа в его середине.

Точное решение мне сформулировать не удалось, но сделала набросок (помещаю в спойлер):

По условию, в точке стоит некоторое целое число , иными словами .
1. Из двух чисел и , хотя бы одно должно превышать хотя бы на единичку (в противном случае задача решена).
2. Из двух чисел и , хотя бы одно должно превышать хотя бы на единичку (в противном случае задача решена). Если , то из двух чисел и , хотя бы одно должно превышать , хотя бы на единичку. Но этим числом не может быть , поскольку оно равно . Следовательно, . Аналогично, если , то .
Таким образом, из двух чисел и , хотя бы одно должно превышать хотя бы на 2.
3. Из двух чисел и , хотя бы одно должно превышать хотя бы на единичку (в противном случае задача решена). Если , то из двух чисел и , хотя бы одно должно превышать , хотя бы на единичку. Но этим числом не может быть , поскольку оно равно . Следовательно, . По той же причине . Аналогично, если , то , а также .
Таким образом, из двух чисел и , хотя бы одно должно превышать хотя бы на 3.

Аналогичные рассуждения приводят нас к выводу, что для любого натурального из двух чисел и , хотя бы одно должно превышать хотя бы на . Но поскольку и являются лишь конечными числами, рано или поздно мы придём к противоречию, доказывающему то, что требуется в задаче.

Верны ли мои рассуждения?

[BSK]

Вычислим функцию на сетке с шагом . Предположим, что целые числа строго возрастают. Тогда повторим вычисления на в два раза более мелкой сетке и т.д. Т.к. между двумя целыми числами конечное число целых чисел, на каком-то шаге обязательно получим невозрастание.

[Xenia1996]

Source of the post
Вычислим функцию на сетке с шагом . Предположим, что целые числа строго возрастают. Тогда повторим вычисления на в два раза более мелкой сетке и т.д. Т.к. между двумя целыми числами конечное число целых чисел, на каком-то шаге обязательно получим невозрастание.

Спасибо!
А мои рассуждения ошибочны или просто слишком объёмны?

[BSK]

Source of the post А мои рассуждения ошибочны или просто слишком объёмны?

Та же самая идея. Функция хотела прогнуться вниз на любой сетке, но не смогла, т.к. принимает только целые значения.