Среднее значение, если математическое ожидание не существует

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 14 окт 2012, 13:58

Таланов писал(а):Source of the post
Мы проводим испытания для того чтобы определить значение случайной величины, за которой наблюдаем. Не случайно, например матожидание случайной величины, которое нам неизвестно.

Это будет верно в том случае, если температура скачет, как безумная. То есть, температура реально меняется (от пациента к пациенту, например), а мы это наблюдаем в серии однократных измерений - это другая задача, тоже вполне корректная. Я внимательно перечитал первый пост этой темы - и прошу:
1. Автора темы, во избежание недоразумений пояснить, которую из двух задач он собирается решать.
2. Всем участникам обсуждения принести глубокие извинения г-ну Таланову. Он виноват лишь тем, что понял текст задачи буквально - так, как он и был написан.
Извините меня, я пошел на поводу у участников обсуждения, а текст исходной задачи просмотрел мельком.

Таланов

Andrew58 писал(а):Source of the post
Это будет верно в том случае, если температура скачет, как безумная.

Это будет верно в любом случае. Если она меняется незначительно, значит у этой случайной величины дисперсия маленькая.

Таланов

Andrew58 писал(а):Source of the post
Он виноват лишь тем, что...

Из Крылова. "Ты виноват лишь тем, что хочется мне кушать..."

Vector · Сообщение **Vector** » 14 окт 2012, 14:44

mihailm писал(а):Source of the post
Таланов, ваша упрямость (мягко сказано) не делает вам чести, Andrey Zykov прав. Читайте иногда учебники по теории вероятностей

Таланов прав. Нефиг тут привлекать вектора. В векторе важна последовательность компонент, т.е. когда имеем случайный вектор - то у него многомерная плотность распределения (если она существует), с некоторой ковариационной матрицей. Тут же простая последовательность значений, которые приняла единственная случайная величина. Если эту последовательность рассматривать как вектор, то его многомерная плотность - это произведение одномерных (его коавариационная матрица - диагональная, а все элементы главной диагонали равны дисперсии). Не нужно усложнять жизнь там где не требуется!

По вашей логики - значение случайной величины - это матрица размером 1х1, а не число! Можно еще случайные тензоры привлечь, они тут тоже подойдут.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 14 окт 2012, 14:48

Таланов писал(а):Source of the post
Это будет верно в любом случае. Если она меняется незначительно, значит у этой случайной величины дисперсия маленькая.

Тогда на многократных измерениях ставится большой, жирный и принципиальный крест - на это мы пойти не можем.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 14 окт 2012, 16:00

Vector писал(а):Source of the post
Таланов прав. Нефиг тут привлекать вектора.

Тогда еще раз извинюсь перед Александром Александровичем.

Теперь задам вопрос - если я задам плотность вероятности следующим образом:
$$p(x)=0$$

, если

и
$p(x)=\frac 1 {x^2}$ для оставшихся действительных,
то она будет удовлетворять Вашим требованиям?

zykov · Сообщение **zykov** » 14 окт 2012, 22:57

Таланов писал(а):Source of the post
zykov писал(а):Source of the post
Раз уж не разбираетесь в предмете, то зачем лезете? Ведь даже тема не Вами создана...

С чего вы взяли что мне можно лезть только в те темы, которые созданы исключительно мной? Здесь я увидел ваше глубочайшее непонимание предмета, поэтому и влез.

Вы совершенно не разбираетесь в этом предмете.
Так что мне с Вами тут обсуждать нечего.

zykov · Сообщение **zykov** » 14 окт 2012, 23:17

Andrew58 писал(а):Source of the post
Мат. ожидание суммы выражается интегралом, в который входит свертка интегралов по компонентам - а как ее универсально свести к сумме?

$E[\sum_{i=1}^{n}{x_i}]=\idotsint\limits_{{\mathbb R}^n}{(\sum_{i=1}^{n}{x_i}) \cdot p(x_1)p(x_2) \ldots p(x_n) \cdot dx_1 dx_2 \ldots dx_n}= \\ \sum_{i=1}^{n}({\idotsint\limits_{{\mathbb R}^n}{x_i \cdot p(x_1)p(x_2) \ldots p(x_n) \cdot dx_1 dx_2 \ldots dx_n}})= \\ \sum_{i=1}^{n}(({\int\limits_{\mathbb R}{p(x_1) \cdot dx_1}) \cdot ({\int\limits_{\mathbb R}{p(x_2) \cdot dx_2}) \cdot \ldots \cdot ({\int\limits_{\mathbb R}{x_i \cdot p(x_i) \cdot dx_i}) \cdot \ldots \cdot ({\int\limits_{\mathbb R}{p(x_n) \cdot dx_n})}) =$
$\sum_{i=1}^{n}(1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot ({\int\limits_{\mathbb R}{x_i \cdot p(x_i) \cdot dx_i}) \cdot \ldots \cdot 1})=$
$\sum_{i=1}^{n}({\int\limits_{\mathbb R}{x_i \cdot p(x_i) \cdot dx_i}})= n \cdot {\int\limits_{\mathbb R}{x \cdot p(x) \cdot dx}}$
Следовательно, если интеграл мат.ожидания расходился для случайной переменной, то и интеграл матожидания для конечной суммы тоже расходится.

Я тут правда подумал, что это не запрещает сходимости к одному числу.
Если например рассмотерть такую последовательность распределений, что для данного n доля вероятности (1-1/n) равномерно распределена в интервале [1-1/n, 1+1/n], а оставшаяся доля 1/n распределена на участке x>1+1/n с плотностью пропорциональной $$1/x^2$$

, то каждое из таких распределений не будет иметь мат.ожидания, но последовательность будет сходится к числу "1" в смысле сходимости по вероятности (т.е. для любого положительного эпсилон вероятность того, что x отклонится по модулю более чем на эпсилон от 1, стремится к 0 вместе с n).

Так что нужно ещё подумать. Или найти такой же пример, когда сумма будет сходится. Или показать, что медленно убывающий хвост при суммировании не может уйти в ноль...

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 15 окт 2012, 05:24

M	Таланов отправляется отдыхать на 3 дня (за некорректное поведение). Заодно и учебники можно будет почитать.

A	Таланов отправляется отдыхать на 3 дня (за некорректное поведение). Заодно и учебники можно будет почитать.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 15 окт 2012, 13:26

zykov писал(а):Source of the post
Следовательно, если интеграл мат.ожидания расходился для случайной переменной, то и интеграл матожидания для конечной суммы тоже расходится.

Спасибо! С этим разобрались.
Теперь пару слов по исходной задаче. Есть терминология и терминология, неужели надо собачиться из-за этого?
Имеется одна случайная величина и N ее реализаций - выборка. Апостериорно выборка фиксирована, и можно ставить задачи по оценке параметров распределения случайной величины по этой выборке - это по Таланову.
Априорно манипуляции с выборкой прикрыты фиговым листочком "имеет смысл рассматривать как совокупность N независимых одинаково распределенных случайных величин" - и ничего другого, кроме "имеет смысл" в математике не находится - это Ваше.
Добавим сюда же некоторые вольности в определении моментов, в том числе и матожидания. Требовать или не требовать от интегралов абсолютной сходимости? Можно посмотреть, в чем разница на примере распределения Коши.
А я пока отправлюсь вместе с Талановым учебники читать - полезнее для здоровья.

yourdomain.com