Маленький вопрос по диффурам

Freeman-des · Сообщение **Freeman-des** » 09 сен 2012, 21:56

Функция $y=\frac {1} {1-x}$ - решение дифф ур-я $$y'=y^2$$

на интервале $(-\infty, 1)$ .

Но почему интервал такой? Куда $(1, +\infty)$ разбазарили?

folk · Сообщение **folk** » 09 сен 2012, 22:50

Freeman-des писал(а):Source of the post
Но почему интервал такой? Куда $(1, +\infty)$ разбазарили?

На этом интервале тоже решение - видимо для определенности задали интервал

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 10 сен 2012, 16:05

folk писал(а):Source of the post
Freeman-des писал(а):Source of the post Но почему интервал такой? Куда $(1, +\infty)$ разбазарили?
На этом интервале то же решение - видимо для определенности задали интервал

Ну, точка

, там как бы сингулярность... Думаю, интервал задали, чтобы не заморачиваться сходимостью, существованием, непрерывностью и прочими забавами.

Freeman-des · Сообщение **Freeman-des** » 10 сен 2012, 18:00

Это пример из учебника по диффур Матвеева. Он приводит примеры того, как выглядят решения и при каких х. В другом примере также выбран один из двух интервалов.

Я думал, что какой-то премудрости не знаю. Теперь более-менее понятно.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 11 сен 2012, 12:19

Дело в том, что если решать дифур, начиная с какой-то точки, в смысле задачи Коши, например, из точки 0, то вы получите решение только на одном интервале непрерывности (если не будете обходить точки разрыва по комплексной плоскости). Упрётесь в 1, и всё. Чтобы найти решение на другом интервале, туда надо скакнуть, и тоже начать с какой-то точки.

На двух интервалах будут свои разные константы интегрирования (опять же, если не решать с учётом комплексной плоскости). То есть, у вас будут равноправными решениями и
$y=\tfrac{1}{1-x},\quad x\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$
и
$y=\left\{\begin{array}{ll}\tfrac{1}{1-x},&\quad x\in(-\infty,1)\\\tfrac{1}{C-x},&\quad x\in(C,+\infty)\end{array}\right.$
для каких-то других $C\in\mathbb{R}$ . Причём не обязательно должно быть $C\geqslant 1$ ! Ветки могут накладываться одна на другую по $$x$$

. Здесь остро проявляется то, что решение дифура - на самом деле не функция, а линия.

yourdomain.com