Что такое рациональные числа

folk · Сообщение **folk** » 10 авг 2012, 12:01

$\pi * 2/\pi = 2$
слева оба трансцендентные то есть иррациональные - справа целое

Таланов

folk писал(а):Source of the post
для не скажу, а для $\pi - 2/\pi$

А

чем хуже?

NT · Сообщение NT » 10 авг 2012, 12:22

folk писал(а):Source of the post
для не скажу ...

А точно так же - например умножить на $\frac{1}{e}$ ?

folk · Сообщение **folk** » 10 авг 2012, 13:25

Да, вы конечно правы. Для e работает тот же подход По хорошему вопрос сводится к тому что если a корень полинома, то является ли корнем какого-то полинома a^2, 1/a ну прочие привычные функции. Если да - то мы умеем строить кучу иррациональных чисел из имеющихся. Но сам факт доказать что некое произвольно выписанное число трансцендетно - это штука весьма непростая. (Да и не особо нужная.)

YURI · Сообщение **YURI** » 10 авг 2012, 13:28

Таланов писал(а):Source of the post
folk писал(а):Source of the post
Да пи и е это трансцендентные числа.

Я никак не могу от вас добиться одного. $\pi$ и можно называть иррациональными числами? Скажите да, или нет.

Да, они являются иррациональными. И трансцендентными тоже.

Таланов писал(а):Source of the post
$6.5(6)=\frac{197}{30}$

Зачем в качестве примера это привели? Взяли и сами себя высекли. Поэтому доверия к определению нет никакого.

Это да. А всю статью по косточкам даже разбирать не хочется.
Они, в частности, фактически постулируют, что числа $$e$$

и $\pi$ -- иррациональные. А ведь это далеко нетривиальные факты.

alekcey · Сообщение **alekcey** » 10 авг 2012, 13:43

Числа иррациональные и числа трансцендентные не одно и то же, как, например, СНАУ и просто СНУ. Или, как оказалось, Карл Маркс и Фридрих Энгельс это целых два человека, а вовсе не один…

Таланов

YURI писал(а):Source of the post
Таланов писал(а):Source of the post
$\pi$ и можно называть иррациональными числами? Скажите да, или нет.

Да, они являются иррациональными. И трансцендентными тоже.
Они, в частности, фактически постулируют, что числа и $\pi$ -- иррациональные. А ведь это далеко нетривиальные факты.

Вы меня совсем запутали.

YURI · Сообщение **YURI** » 10 авг 2012, 13:50

folk писал(а):Source of the post По хорошему вопрос сводится к тому что если a корень полинома, то является ли корнем какого-то полинома a^2, 1/a ну прочие привычные функции. Если да - то мы умеем строить кучу иррациональных чисел из имеющихся.

Если

- алгебраическое, то $$a^2$$

и $\frac{1}{a}$ - алгебраические. И, вообще, $\mathbb{A}$ - поле.
Если $$r$$

- иррациональное, то и в любой целой степени оно иррационально.

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 10 авг 2012, 13:50

Таланов писал(а):Source of the post А алгебраические, это какие?

Это все корни многочленов над $\mathbb{Q}$ . Целые алгебраические - это все корни многочленов над $\mathbb{Z}$ . Все рациональные числа являются алгебраическими.

Таланов писал(а):Source of the post Вы меня совсем запутали.

Ну что?

иррационально (т.е. не имеет вид $\frac{p}{q}$ ). Доказательство в 3 строчки - можете сами доказать.
$$e$$

трансцендентно (отсюда следует, что оно иррационально, доказательство сложно, но доступно, есть в Бухштабе).
Аналогично $\pi$ .

YURI · Сообщение **YURI** » 10 авг 2012, 14:01

Sonic86 писал(а):Source of the post
Целые алгебраические - это все корни многочленов над $\mathbb{Z}$ .

Да ещё приведенных многочленов.
Просто же ведь корни многочленов над целыми $\iff$ корни многочленов над рациональными.

Таланов писал(а):Source of the post Вы меня совсем запутали.

Да? А я думал, наоборот, пояснил.
$\pi$ - трансцендентное и иррациональное. Тоже самое с $$e$$

.

Да, тут нешутошные споры разгорелись.
Чувствую, надо сделать небольшую статейку на эту тему с пояснениями и примерами, чтоб всё по полочкам разложить... И прикрепить куда-нибудь, чтобы в качестве FAQ было

yourdomain.com