Целочисленность $pi^pi^pi^pi$

Hellko · Сообщение **Hellko** » 10 авг 2012, 11:19

Почему не известно является ли целым числом число $\pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}$ ?
Можно ли это как то доказать/посчитать?

folk · Сообщение **folk** » 10 авг 2012, 11:47

У вас 4 степени или бесконечно? Если конечное rколичество степеней, то можно взять рациональные оценки пи снизу и сверху и пользуясь монотонностью степенной функции получить такую оценку для результата. При хороших оценках вы получите что не целое. Хочется верить что трансцендентное но сходу не знаю как это показать.

JeffLebovski

Hellko писал(а):Source of the post
Почему не известно является ли целым числом число $\pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}$ ?

Потому что неизвестно, как это доказать/посчитать.

Hellko · Сообщение **Hellko** » 10 авг 2012, 12:17

folk писал(а):Source of the post
У вас 4 степени или бесконечно? Если конечное rколичество степеней, то можно взять рациональные оценки пи снизу и сверху и пользуясь монотонностью степенной функции получить такую оценку для результата. При хороших оценках вы получите что не целое. Хочется верить что трансцендентное но сходу не знаю как это показать.

4. У меня 4. Можно и больше. Нашел это на вики. Удивило.
[url=http://ru.wikipedia.org/wiki/Открытые_мате....81.D1.82.D0.B8]http://ru.wikipedia.org/wiki/Открыт\xD1....81.D1.82.D0.B8[/url]

JeffLebovski

Hellko, весьма занятно, спасибо!

folk · Сообщение **folk** » 10 авг 2012, 13:32

Зато то что не целое можно показать. Да и в общем все равно в жизни (при численном решении задач) мы все дроби отсекаем при вычислениях - фактически работаем с целыми числами. Интервальная арифметика дает иллюзию безопасности конечно, но по моему все считают просто оценивая невязку.

Кстати те кто читали доказательство трансцендентности чисел e и pi наверняка задавали себе вопрос - а оно надо? Столько трудов....

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 10 авг 2012, 13:48

Блин, я вот лично люблю абстрактные задачи, не имеющие отношения к реальности, но даже для меня это абсолютно бессмысленная задача.

YURI · Сообщение **YURI** » 10 авг 2012, 14:09

Hellko писал(а):Source of the post
Почему не известно является ли целым числом число $\pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}$ ?

Потому, что это число очень большое. Уже $3^{{3}^3}$ = $3^{27}$ . А вычислить на компьютере его "точно" не представляется возможным.

folk · Сообщение **folk** » 10 авг 2012, 14:15

Да? 3^27 = 7625597484987
3^3^3^3 будет иметь каких то 3^12 знаков - всего то 3 Терабайта на число...

Но можно на крайний случай считать по модулю длинных простых чисел и еще какие ухищрения применить//

YURI · Сообщение **YURI** » 10 авг 2012, 14:26

folk писал(а):Source of the post Да?

Ага. Чтобы найти "рациональную оценку" шириной не более $$1 для такого гигантского числа, нужно еще брать большое кол-во значащих цифр.

yourdomain.com