Две жидкости

Ответить на сообщение
Аватар пользователя
kiv
Сообщений: 1012
Зарегистрирован: 02 дек 2011, 21:00

Две жидкости

Сообщение kiv » 26 июн 2012, 11:31

NT писал(а):Source of the post
Ok.
Я в физике совсем не бум-бум, так что за демонов извините, виноват.

Давайте разбираться в программе.

Код: Выбрать все

    for(int i = 1; i <= n; ++i)    {        for(int j = i; j <= n; ++j)        {             f[j] = s[n-(j-i)] = (f[j]+s[n-(j-i)])/2;  ???А второй 2-ой цикл - что он делает?         }    }



Мне было проще разбить процесс на 2 части - первый цикл с момента встречи первых ячеек до полного перекрытия "шлангов" - когда первые ячейки встретились с последними. Второй цикл - вторая часть "Марлезонского балета" :), когда они расходятся в разные стороны. Я сейчас на очень мягко говоря слабеньком компьютере с бедным набором софта, так что изобразить картинку - проблематично. Попробуйте вообразить весь процесс сами. Два поезда, встретились тепловозы - пошел первый цикл. Тепловозы поравнялись с хвостовыми вагонами - кончился первый и начался второй цикл - до момента встречи последних вагонов.
Последний раз редактировалось kiv 28 ноя 2019, 15:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
NT
Сообщений: 3384
Зарегистрирован: 25 янв 2010, 21:00

Две жидкости

Сообщение NT » 26 июн 2012, 13:04

kiv писал(а):Source of the post
Два поезда, встретились тепловозы - пошел первый цикл.
Тепловозы поравнялись с хвостовыми вагонами - кончился первый
и начался второй цикл - до момента встречи последних вагонов.

Занятно.
Функция calc(n, t,T) - n- это количество вагонов.

Код: Выбрать все

    for(int i = 0; i <= n; ++i)    {        for(int j = 0; j <= i; ++j)        {            f[j] = s[i-j] = (f[j]+s[i-j])/2;            printf("f[%d]=%.5lf , s[%d]=%.5lf\n", j, f[j], i-j, s[i-j]);        }    }

Вывел заполнение ячеек после 1 цикла для N=7 :
...
f[0]=0.99219 , s[6]=0.99219
f[1]=0.93750 , s[5]=0.93750
f[2]=0.77344 , s[4]=0.77344
f[3]=0.50000 , s[3]=0.50000
f[4]=0.22656 , s[2]=0.22656
f[5]=0.06250 , s[1]=0.06250
f[6]=0.00781 , s[0]=0.00781
Если бы сейчас остановить процесс и все ячейки каждой стороны перемешать,
то температура обоих составов была бы равная по 0.5 С.

И только по завершению пробега обоих составов до конца получим:
N = 7 t = 0.79053 T = 0.20947
=======================
Последний раз редактировалось NT 28 ноя 2019, 15:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
kiv
Сообщений: 1012
Зарегистрирован: 02 дек 2011, 21:00

Две жидкости

Сообщение kiv » 26 июн 2012, 18:51

NT писал(а):Source of the post
Занятно.
Функция calc(n, t,T) - n- это количество вагонов.


Ну, вообще-то, n+1 - с 0 до n-го.
Последний раз редактировалось kiv 28 ноя 2019, 15:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
NT
Сообщений: 3384
Зарегистрирован: 25 янв 2010, 21:00

Две жидкости

Сообщение NT » 26 июн 2012, 19:29

Я тут поэкспериментировал с программой.
Ввёл потери при передаче тепла.
При кпд=99% при достаточно большом N, *) правильнее будет сказать - идёт медленный теплообмен переходящий в процесс охлаждения обоих реагентов.

PS. Да оно и понятно, чем больше N - тем больше потерь тепла (я там линейную зависимость ввёл).

PPS. *) Еще раз проверил и поправился.
Занятно только для идеального случая кпд=100%.
Последний раз редактировалось NT 28 ноя 2019, 15:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
triod
Сообщений: 651
Зарегистрирован: 01 июл 2012, 21:00

Две жидкости

Сообщение triod » 08 авг 2012, 14:35

Есть даже более простое решение этой задачи.Достаточно разделить нагреваемый чай на на две части.

Nickolasha писал(а):Source of the post
Имеется один литр горячего кофе (t=95 °С), один литр холодного чая (t=5 °С) и набор сосудов разного размера. Можно ли, нагревая одну жидкость другой и не пользуясь никакими другими источниками тепла/холода, сделать окончательную температуру всего чая выше окончательной температуры всего кофе? Теплоемкостью сосудов и потерями тепла на окружающую среду пренебречь.
Последний раз редактировалось triod 28 ноя 2019, 15:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Таланов
Сообщений: 21057
Зарегистрирован: 07 янв 2009, 21:00

Две жидкости

Сообщение Таланов » 08 авг 2012, 15:01

triod писал(а):Source of the post
Есть даже более простое решение этой задачи.Достаточно разделить нагреваемый чай на на две части.

А дальше что делать?
Последний раз редактировалось Таланов 28 ноя 2019, 15:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
grigoriy
Сообщений: 11916
Зарегистрирован: 18 ноя 2009, 21:00

Две жидкости

Сообщение grigoriy » 08 авг 2012, 15:02

Скачать: Маковецкий, "Смотри в корень".
Стр. 363, задача 96 - "Холодная вода теплее горячей".
Последний раз редактировалось grigoriy 28 ноя 2019, 15:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
peregoudov
Сообщений: 1917
Зарегистрирован: 09 сен 2007, 21:00

Две жидкости

Сообщение peregoudov » 14 авг 2012, 18:55

Ну, раз тема поднялась, предлагаю рассмотреть какую-нибудь более сложную, но и более реалистичную модель теплообменника на встречных потоках.

Пусть есть две теплоизолированные трубы прямоугольного сечения, прижатые друг к другу. По трубам в противоположных направлениях течет вода. В одном месте теплоизоляция между трубами снята и устроено окно, реализующее идеальный тепловой контакт. Можно ли в такой системе получить описанный выше эффект?

Воду считаем несжимаемой. Чтобы не заморачиваться еще и вязкостью, предлагаю ей пренебречь и считать, что вода в трубах течет с постоянной по сечению скоростью. Мое решение --- под спойлером ниже.

Задача эффективно двумерная. В области $$-\infty<x<+\infty$$, $$0<y<b$$ вода течет в положительном направлении оси $$x$$, в области $$-\infty<x<+\infty$$, $$-b<y<0$$ --- в отрицательном. На границах {$$-\infty<x<+\infty$$, $$y=b$$}, {$$-\infty<x<+\infty$$, $$y=-b$$}, {$$|x|>a$$, $$y=0$$} обращается в нуль тепловой поток, а в окне {$$|x|<a$$, $$y=0$$} непрерывны температура и тепловой поток. Без ограничения общности можно считать, что на входе в теплообменник, то есть при {$$x\to-\infty$$, $$0<y<b$$} и при {$$x\to+\infty$$, $$-b<y<0$$} температура равна +1 и -1 соответственно. Нужно определить температуру на выходе, то есть при {$$x\to+\infty$$, $$0<y<b$$} и при {$$x\to-\infty$$, $$-b<y<0$$}.

Заглядываем в ЛЛ6, параграф "Теплопроводность в несжимаемой жидкости" и пишем уравнение (50,1), считая все коэффициенты постоянными, а скорость не зависящей от координат

$$\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}+({\bf v}\nabla)T=k\Delta T. $$

В нашем случае уравнения при $$0<y<b$$ и $$-b<y<0$$ будут

$$\displaystyle \pm v\frac{\partial T}{\partial x}=\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}. $$

Обезразмерим задачу. Введем безразмерные параметры $$\varepsilon=b/a$$, $$u=vb^2\!/ka$$, и безразмерные координаты $$\xi=x/a$$, $$\eta=y/b$$. Тогда

$$\displaystyle \pm u\frac{\partial T}{\partial\xi}= \varepsilon^2\frac{\partial^2 T}{\partial\xi^2}+ \frac{\partial^2 T}{\partial\eta^2},\quad -\infty<\xi<+\infty,\quad\begin{cases} 0<\eta<1,\\ -1<\eta<0, \end{cases} $$

$$\displaystyle \frac{\partial T}{\partial\eta}=0,\quad \{-\infty<\xi<+\infty,\eta=\pm1\},\quad \{|\xi|>1,\eta=\pm0\}, $$

$$\displaystyle T(\xi,+0)=T(\xi,-0),\quad \frac{\partial T}{\partial\eta}(\xi,+0)= \frac{\partial T}{\partial\eta}(\xi,-0),\quad |\xi|<1. $$

Значения на входе в теплообменник

$$\displaystyle T(\xi,\eta)\to\pm1,\quad \xi\to\mp\infty, \begin{cases} 0<\eta<1,\\ -1<\eta<0. \end{cases} $$

Нетрудно догадаться, что аналогия с поездами будет достигаться, когда параметр $$\varepsilon$$ мал. Параметр же $$u$$ можно считать как конечным, так и малым вместе с $$\varepsilon$$.

Решение удобно представить через функцию Грина. Введем оператор

$$\displaystyle L=u\frac\partial{\partial\xi}-\varepsilon^2 \frac{\partial^2}{\partial\xi^2}-\frac{\partial^2}{\partial\eta^2} $$

и сопряженный к нему оператор

$$\displaystyle L^\dag=-u\frac\partial{\partial\xi}-\varepsilon^2 \frac{\partial^2}{\partial\xi^2}-\frac{\partial^2}{\partial\eta^2}. $$

Тогда $$LT=0$$, а уравнение для функции Грина

$$\displaystyle L^\dag G=\delta(\xi-\xi&#39;)\delta(\eta-\eta&#39;). $$

Граничные условия $$\partial G/\partial\eta(\xi,0)=\partial G/\partial \eta(\xi,1)=0$$. На обеих бесконечностях $$\partial G/\partial\xi(\xi,\eta)\to0$$ при $$\xi\to\pm\infty$$. А вот сама функция Грина не может стремиться к нулю сразу на обеих бесконечностях. Это очевидно, если проинтегрировать уравнение для нее по полосе $$-\infty<\xi<\infty$$, $$0<\eta<1$$

$$\displaystyle -\int_0^1d\eta\,(uG+\varepsilon^2G_\xi)|_{\xi=-\infty}^{\xi=+\infty}=1. $$

В качестве условия на бесконечности удобно задать $$G(\xi,\eta)\to0$$ при $$\xi\to+\infty$$. Тогда $$G(\xi,\eta)\to1/u$$ при $$\xi\to-\infty$$. Пишем

$$\displaystyle T(\xi&#39;,\eta&#39;)=\int_{-\infty}^{+\infty}d\xi\int_0^1d\eta\,TL^\dag G= -u\int_0^1d\eta\,TG|_{\xi=-\infty}^{\xi=+\infty}-{} $$
$$\displaystyle {}-\varepsilon^2\int_0^1d\eta\,(TG_\xi-T_\xi G)|_{\xi=-\infty}^{\xi=+\infty}- \int_{-\infty}^{+\infty}d\xi\,(TG_\eta-T_\eta G)|_{\eta=0}^{\eta=1}= $$
$$\displaystyle =u\int_0^1d\eta\,TG|_{\xi=-\infty}- \int_{-1}^1d\xi\,T_\eta G|_{\eta=0}=1-\int_{-1}^1d\xi\,T_\eta G|_{\eta=0}. $$

При $$\xi&#39;\to+\infty$$ имеем
$$\displaystyle T|_{\xi=+\infty}=1-\frac1u\int_{-1}^1d\xi\,T_\eta|_{\eta=0}. $$

Последняя полученная нами формула довольно очевидна из "пальцевых" соображений: интеграл справа представляет собой полный поток тепла через окно, а множитель $$1/u$$ --- время прохода данной порции воды вдоль окна.

Чтобы найти тепловой поток $$T_\eta|_{\eta=0}$$ через окно $$|\xi|<1$$, воспользуемся симметрией температуры. Пишем

$$\displaystyle T(\xi&#39;,0)=1-\int_{-1}^1d\xi\,T_\eta(\xi,0)G(\xi,0;\xi&#39;,0), $$

$$\displaystyle T(-\xi&#39;,0)=1-\int_{-1}^1d\xi\,T_\eta(\xi,0)G(\xi,0;-\xi&#39;,0)= 1-\int_{-1}^1d\xi\,T_\eta(\xi,0)G(-\xi,0;-\xi&#39;,0) $$

и складываем эти равенства

$$\displaystyle 2=\int_{-1}^1d\xi\,T_\eta(\xi,0)[G(\xi,0;\xi&#39;,0)+G(-\xi,0;-\xi&#39;,0)]. $$

Поскольку функция Грина зависит в действительности только от $$\xi-\xi&#39;$$, в квадратных скобках стоит четная функция $$K(x)=G(x-x&#39;,0;0,0)+G(x&#39;-x,0;0,0)$$. Мы получили интегральное уравнение относительно $$T_\eta$$. Для фактического его решения нужно определить функцию Грина.

Будем искать ее в виде разложения по собственным функциям оператора $$\partial^2\!/\partial\eta^2$$ с граничными условиями $$\partial G/\partial\eta(\xi,0)=\partial G/\partial\eta(\xi,1)=0$$

$$\displaystyle G(\xi,\eta)=g_0(\xi)/2+\sum_{n=1}^\infty g_n(\xi)\cos\pi n\eta. $$

Коэффициенты удовлетворяют уравнениям

$$\displaystyle -ug&#39;_n-\varepsilon^2g&#39;&#39;_n+\pi^2n^2g_n=2\delta(\xi-\xi&#39;)\cos\pi n\eta&#39;. $$

Решения соответствующих однородных уравнений, производные которых убывают при $$x\to\pm\infty$$, равны соответственно $$A_ne^{a_{n-}\xi}$$ и $$B_ne^{a_{n+}\xi}$$, где

$$\displaystyle a_{n\pm}=\frac{-u\mp\sqrt{u^2+4\varepsilon^2\pi^2n^2}}{2\varepsilon^2} $$

--- корни уравнения $$-ua-\varepsilon^2a^2+\pi^2n^2=0$$. Коэффициенты $$A_n$$, $$B_n$$ определяются из условий непрерывности коэффициентов $$g_n$$ при $$\xi=\xi&#39;$$ и скачка их производных $$-\varepsilon^2[g&#39;_n(\xi&#39;+0)-g&#39;_n(\xi&#39;-0)]=2\cos\pi n\eta&#39;$$. Окончательно

$$\displaystyle G(\xi,\eta;\xi&#39;,\eta&#39;)=\begin{cases} \displaystyle \frac1u+\frac2{\varepsilon^2}\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos\pi n\eta\cos\pi n\eta&#39;e^{a_{n-}(\xi-\xi&#39;)}}{a_{n-}-a_{n+}},&\xi<\xi&#39;,\\ \noalign{\vskip5pt} \displaystyle \frac1ue^{-(\xi-\xi&#39;)u/\varepsilon^2}+\frac2{\varepsilon^2}\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos\pi n\eta\cos\pi n\eta&#39;e^{a_{n+}(\xi-\xi&#39;)}} {a_{n-}-a_{n+}},&\xi>\xi&#39;. \end{cases} $$

Ядро интегрального уравнение для $$T_\eta(\xi,0)$$ имеет вид

$$\displaystyle K(x)=G(x,0;0,0)+G(-x,0;0,0)=$$

$$\displaystyle =\frac1u+\frac1ue^{-|x|u/\varepsilon^2} +\frac2{\varepsilon^2}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{a_{n+}|x|}+e^{-a_{n-}|x|}}{a_{n-}-a_{n+}}=\frac1u+\tilde K(x). $$

Отметим, что интеграл от убывающих на бесконечности членов равен

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dx\,\tilde K(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}dx\,\left(\frac1ue^{-|x|u/\varepsilon^2} +\frac2{\varepsilon^2}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{a_{n+}|x|}+e^{-a_{n-}|x|}}{a_{n-}-a_{n+}}\right)=$$

$$\displaystyle =\frac{2\varepsilon^2}{u^2}-\frac4{\varepsilon^2}\sum_{n=1}^\infty \frac1{a_{n+}a_{n-}}=\frac{2\varepsilon^2}{u^2}+\frac23. $$

Полного решения этого интегрального уравнения у меня на данный момент нет, но есть простая оценка, правда, основанная на недоказанном, но весьма естественном предположении, что всюду в окне $$T_\eta>0$$.

Обозначим полный тепловой поток сквозь окно через

$$\displaystyle Q=\int_{-1}^1d\xi\,T_\eta(\xi,0). $$

Интегрируя уравнение

$$\displaystyle 2=\int_{-1}^1d\xi\,T_\eta(\xi,0)[1/u+\tilde K(\xi-\xi&#39;)] $$

по $$\xi&#39;$$, получаем

$$\displaystyle 4=\frac{2Q}u+\int_{-1}^1d\xi&#39;\int_{-1}^1d\xi\,T_\eta(\xi,0)\tilde K(\xi-\xi&#39;)\leq\frac{2Q}u+\left(\frac{2\varepsilon^2}{u^2}+\frac23\right)Q, $$

откуда

$$\displaystyle Q\geq\frac{2u}{1+c},\quad c=\frac{\varepsilon^2}u+\frac u3 $$

и

$$\displaystyle T|_{\xi=+\infty}=1-\frac Qu\leq-\frac{1-c}{1+c}. $$

Минимальное значение $$c=2\varepsilon/\sqrt3$$ достигается при $$u=\varepsilon\sqrt3$$ и приводит к наилучшей оценке для $$T|_{\xi=+\infty}$$.

P. S. Оценка выходной температуры с обратной стороны совершенно очевидная, даже забыл сразу написать. Имеем

$$\displaystyle 2=\frac Qu+\int_{-1}^1d\xi\,T_\eta(\xi,0)\tilde K(\xi-\xi&#39;)\geq\frac Qu, $$

откуда $$Q/u\leq2$$ и

$$\displaystyle T|_{\xi=+\infty}\geq-1. $$

Разумеется, эта оценка очевидна и из более общих соображений: в противном случае можно было бы использовать теплообменник как вечный двигатель второго рода.
Последний раз редактировалось peregoudov 28 ноя 2019, 15:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
leonid_berger
Сообщений: 93
Зарегистрирован: 09 фев 2009, 21:00

Две жидкости

Сообщение leonid_berger » 23 авг 2012, 22:38

Не люблю бредовые, высосанные из пальца, задачи. По делу я бы ответил - нет, нельзя нагреть. Но это по делу[quote][/quote]
Если говорить по делу, то и выражать мысль нужно точно. Нагреть можно, передав изолированной системе внешнюю работу. А вот самопоизвольный процесс нагревания выше температуры более нагретого тела осуществить невозможно, поскольку это противоречит второму началу классической термодинамики.
Последний раз редактировалось leonid_berger 28 ноя 2019, 15:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
grigoriy
Сообщений: 11916
Зарегистрирован: 18 ноя 2009, 21:00

Две жидкости

Сообщение grigoriy » 24 авг 2012, 04:46

leonid_berger писал(а):Source of the post
А вот самопоизвольный процесс нагревания выше температуры более нагретого тела осуществить невозможно, поскольку это противоречит второму началу классической термодинамики.

Не совсем понял.
Не могли бы Вы уточнить свою позицию конкретно по данной теме - можно ли организовать
адиабатический процесс теплообмена между двумя жидкостями, в результате которого жидкость
с изначально меньшей температурой будет в результате иметь бОльшую?

И ещё вопрос - справедливо ли, по Вашему мнению, в своё время раскритиковали "Термодинамику" Вейника?
Последний раз редактировалось grigoriy 28 ноя 2019, 15:48, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Ответить на сообщение

Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 16 гостей