Задача эффективно двумерная. В области
,
вода течет в положительном направлении оси
, в области
,
--- в отрицательном. На границах {
,
}, {
,
}, {
,
} обращается в нуль тепловой поток, а в окне {
,
} непрерывны температура и тепловой поток. Без ограничения общности можно считать, что на входе в теплообменник, то есть при {
,
} и при {
,
} температура равна +1 и -1 соответственно. Нужно определить температуру на выходе, то есть при {
,
} и при {
,
}.
Заглядываем в ЛЛ6, параграф "Теплопроводность в несжимаемой жидкости" и пишем уравнение (50,1), считая все коэффициенты постоянными, а скорость не зависящей от координат
В нашем случае уравнения при
и
будут
Обезразмерим задачу. Введем безразмерные параметры
,
, и безразмерные координаты
,
. Тогда
Значения на входе в теплообменник
Нетрудно догадаться, что аналогия с поездами будет достигаться, когда параметр
мал. Параметр же
можно считать как конечным, так и малым вместе с
.
Решение удобно представить через функцию Грина. Введем оператор
и сопряженный к нему оператор
Тогда
, а уравнение для функции Грина
Граничные условия
. На обеих бесконечностях
при
. А вот сама функция Грина не может стремиться к нулю сразу на обеих бесконечностях. Это очевидно, если проинтегрировать уравнение для нее по полосе
,
В качестве условия на бесконечности удобно задать
при
. Тогда
при
. Пишем
При
имеем
Последняя полученная нами формула довольно очевидна из "пальцевых" соображений: интеграл справа представляет собой полный поток тепла через окно, а множитель
--- время прохода данной порции воды вдоль окна.
Чтобы найти тепловой поток
через окно
, воспользуемся симметрией температуры. Пишем
и складываем эти равенства
Поскольку функция Грина зависит в действительности только от
, в квадратных скобках стоит четная функция
. Мы получили интегральное уравнение относительно
. Для фактического его решения нужно определить функцию Грина.
Будем искать ее в виде разложения по собственным функциям оператора
с граничными условиями
Коэффициенты удовлетворяют уравнениям
Решения соответствующих однородных уравнений, производные которых убывают при
, равны соответственно
и
, где
--- корни уравнения
. Коэффициенты
,
определяются из условий непрерывности коэффициентов
при
и скачка их производных
. Окончательно
Ядро интегрального уравнение для
имеет вид
Отметим, что интеграл от убывающих на бесконечности членов равен
Полного решения этого интегрального уравнения у меня на данный момент нет, но есть простая оценка, правда, основанная на недоказанном, но весьма естественном предположении, что всюду в окне
.
Обозначим полный тепловой поток сквозь окно через
Интегрируя уравнение
по
, получаем
откуда
и
Минимальное значение
достигается при
и приводит к наилучшей оценке для
.
P. S. Оценка выходной температуры с обратной стороны совершенно очевидная, даже забыл сразу написать. Имеем
откуда
и
Разумеется, эта оценка очевидна и из более общих соображений: в противном случае можно было бы использовать теплообменник как вечный двигатель второго рода.