IMC 2012. День 1
Problem 1.
Для каждого положительного целого пусть означает число способов представить в виде суммы положительных целых чисел. Например, так как Также определим
Докажите, что есть число способов представить в виде суммы целых чисел, каждое из которых строго больше
Problem 2.
Для каждого целого положительного определить наименьший возможный ранг матрицы , на главной диагонали которой стоят нули, а на остальных местах строго положительные действительные числа.
Problem 3.
Дано Пусть - группа перестановок чисел Двое игроков, и , играют в следующую игру. Делая ходы, они выбирают элементы (один элемент за раз) из группы Запрещено выбирать элемент, который уже был выбран. Игра заканчивается, когда выбранные элементы порождают всю группу Игрок, который сделал последний ход, проигрывает. Первым ход делает У кого из игроков есть выигрышная стратегия?
Problem 4.
Пусть непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая для всех Докажите, что для всех
Problem 5.
Пусть - рациональное число, а - положительное целое. Докажите, что многочлен неприводим над кольцом многочленов с рациональными коэффициентами
Для каждого положительного целого пусть означает число способов представить в виде суммы положительных целых чисел. Например, так как Также определим
Докажите, что есть число способов представить в виде суммы целых чисел, каждое из которых строго больше
Problem 2.
Для каждого целого положительного определить наименьший возможный ранг матрицы , на главной диагонали которой стоят нули, а на остальных местах строго положительные действительные числа.
Problem 3.
Дано Пусть - группа перестановок чисел Двое игроков, и , играют в следующую игру. Делая ходы, они выбирают элементы (один элемент за раз) из группы Запрещено выбирать элемент, который уже был выбран. Игра заканчивается, когда выбранные элементы порождают всю группу Игрок, который сделал последний ход, проигрывает. Первым ход делает У кого из игроков есть выигрышная стратегия?
Problem 4.
Пусть непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая для всех Докажите, что для всех
Problem 5.
Пусть - рациональное число, а - положительное целое. Докажите, что многочлен неприводим над кольцом многочленов с рациональными коэффициентами