В пространстве рассмотрим оператор с областью определения D(A) , состоящей из дважды непрерывно дифференцируемых функций x(t) , удовлетворяющих граничным условиям x(0)=x(1)=0 . Доказать, что оператор существует, найти его и доказать, что он вполне непрерывен.
Подскажите пожалуйста как это делать. Я так понимаю, чтобы обратный оператор существовал - должно решаться уравнение Ax=y, но ведь так как область определения состоит из дважды дифференцируемых функций, то оно по идее всегда имеет решение.
обратный оператор
-
- Сообщений: 125
- Зарегистрирован: 06 май 2011, 21:00
обратный оператор
Последний раз редактировалось inferno1993 28 ноя 2019, 16:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
обратный оператор
Посмотрите в теории про сведение самомопряжённой задачи к интегральному уравнению (через функцию Грина). Возможно, это именно то, что от вас хотят.
Последний раз редактировалось da67 28 ноя 2019, 16:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 125
- Зарегистрирован: 06 май 2011, 21:00
обратный оператор
Я так понимаю, что обратный оператор существует, если уравнение Ax=0 имеет только тривиальное решение. то есть x(t) должно иметь вид a*t+b, но исходя из начальных условий получаем, что a=b=0.
Я правильно рассуждаю?
Вот как раз нормально свести к интегральному виду и не выходит у меня, существование я вроде доказал, а вот как его найти - не пойму(
Я правильно рассуждаю?
da67 писал(а):Source of the post
Посмотрите в теории про сведение самомопряжённой задачи к интегральному уравнению (через функцию Грина). Возможно, это именно то, что от вас хотят.
Вот как раз нормально свести к интегральному виду и не выходит у меня, существование я вроде доказал, а вот как его найти - не пойму(
Последний раз редактировалось inferno1993 28 ноя 2019, 16:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
обратный оператор
Наверное да. Ваше рассуждение доказывает единственность решения, а нужно ещё существование. Наверное там есть какая-нибудь теорема на этот счёт, таких деталей я уже не помню. Существование, впрочем, достаточно очевидноinferno1993 писал(а):Source of the post Я так понимаю, что обратный оператор существует, если уравнение Ax=0 имеет только тривиальное решение. то есть x(t) должно иметь вид a*t+b, но исходя из начальных условий получаем, что a=b=0.
Я правильно рассуждаю?
Это можно переписать из книжки, но идея там простая. Вспомните предыдущую задачу. Если нужно решение задачи с краевыми условиями, то склеим из двух отрезков ядро так, чтобы само оно было непрерывно, а производная в точке излома менялась ровно на единицу. Тогда при вычислении второй производной от интегралаВот как раз нормально свести к интегральному виду и не выходит у меня, существование я вроде доказал, а вот как его найти - не пойму(
получится как раз от вылезающего в точке разрыва члена.
Последний раз редактировалось da67 28 ноя 2019, 16:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
- homosapiens
- Сообщений: 8400
- Зарегистрирован: 16 июн 2008, 10:02
обратный оператор
Последний раз редактировалось homosapiens 28 ноя 2019, 16:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
обратный оператор
Последний раз редактировалось da67 28 ноя 2019, 16:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 125
- Зарегистрирован: 06 май 2011, 21:00
обратный оператор
По поводу существования: [url=http://de.ifmo.ru/--books/0051/6/6_5/652_obop_1.htm]http://de.ifmo.ru/--books/0051/6/6_5/652_obop_1.htm[/url] там сказано, что если уравнение Ax=y имеет единственное решение, то существует обратный оператор.
А по поводу нахождения обратного - да, я понял что его форма будет выглядеть так, так как недавно решал задачу с ядром,имеющим точку разрыва, и там получалось как раз такое диф уравнение. но вот как найти само ядро - мне непонятно. Тем более, что оно вроде должно иметь точку разрыва
А по поводу нахождения обратного - да, я понял что его форма будет выглядеть так, так как недавно решал задачу с ядром,имеющим точку разрыва, и там получалось как раз такое диф уравнение. но вот как найти само ядро - мне непонятно. Тем более, что оно вроде должно иметь точку разрыва
Последний раз редактировалось inferno1993 28 ноя 2019, 16:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
обратный оператор
Тогда для полноты надо бы докозать, что решение существует.inferno1993 писал(а):Source of the post По поводу существования: [url=http://de.ifmo.ru/--books/0051/6/6_5/652_obop_1.htm]http://de.ifmo.ru/--books/0051/6/6_5/652_obop_1.htm[/url] там сказано, что если уравнение Ax=y имеет единственное решение, то существует обратный оператор.
Ядро непрерывно, разрывна производная.
Берёте при и при .
Подгоняете и так, чтобы функция получилась непрерывной и имела единичный скачок производной в изломе.
Последний раз редактировалось da67 28 ноя 2019, 16:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 125
- Зарегистрирован: 06 май 2011, 21:00
обратный оператор
ну там же как раз и сказано(теорема1) что если уравнение Ax=0 имеет тривиальное решение,то Ax=y разрешимо
ага, понятно, а обосновать как нибудь такой выбор ядра можно?
ага, понятно, а обосновать как нибудь такой выбор ядра можно?
Последний раз редактировалось inferno1993 28 ноя 2019, 16:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
обратный оператор
Так тупо дифференцированием проверяется, что интеграл будет решением уравнения с нужными условиями.
А вообще это всё теория. Такое ядро называется функцией Грина. Можно сослать на какой-нибудь учебник.
А вообще это всё теория. Такое ядро называется функцией Грина. Можно сослать на какой-нибудь учебник.
Последний раз редактировалось da67 28 ноя 2019, 16:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Математический анализ»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 10 гостей