Не совсем понимаю.

antacid1 · Сообщение **antacid1** » 18 июн 2012, 16:39

Найти du, dv, d²u, d²v, если

$$u+v = x+y$$

$\frac {sin(u)} {sin(v)} = \frac {x} {y}$

Нужно все продифференцировать, выразить, подставить, выразить и все. Так?
Но. Кроме того, что у меня почему-то ответ не сходится, я не понимаю такой вещи: u, v, x, y - Это же вроде бы все переменные ничем друг от друга не отличающиеся?
Так почему если дифференцировать второе ур-е в таком виде, в каком оно есть, получится одно выражение, а если домножить это равенство на синус(v) и y, а потом продифференцировать, получится другое выражение?

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 18 июн 2012, 17:11

Ну вы произведите всё-таки какие-нибудь действия, покажите, где затык.

antacid1 · Сообщение **antacid1** » 18 июн 2012, 17:44

Dragon27 писал(а):Source of the post
Ну вы произведите всё-таки какие-нибудь действия, покажите, где затык.

Ну уберем эти синусы, для простоты и напишем вместо них a и b
Тогда продифференцируем
$\frac {a} {b} = \frac {x} {y}$
получим
$\frac {b*d(a)-a*d(b)} {b^2} = \frac {y(dx)-x(dy)} {y^2}$ (1)
Но если преобразовать первое ур-е, таким образом:
$$ay=bx$$

и продифференцируем, получим
$$a(dy)+y(da)=b(dx)+x(db)$$

(2)

А это явно разные вещи.
Таким образом, если мы будем выражать а из da+db=dx+dy и подставлять в (1) и в (2), то мы получим разные da.
Такого же не должно быть.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 18 июн 2012, 17:49

antacid1 писал(а):Source of the post
Но. Кроме того, что у меня почему-то ответ не сходится, я не понимаю такой вещи: u, v, x, y - Это же вроде бы все переменные ничем друг от друга не отличающиеся?

У вас есть две функции u(x,y) и v(x,y), где x, y - независимые переменные. Это надо учесть при выполнении операций.

antacid1 · Сообщение **antacid1** » 18 июн 2012, 17:58

vicvolf писал(а):Source of the post
antacid1 писал(а):Source of the post
Но. Кроме того, что у меня почему-то ответ не сходится, я не понимаю такой вещи: u, v, x, y - Это же вроде бы все переменные ничем друг от друга не отличающиеся?

У вас есть две функции u(x,y) и v(x,y), где x, y - независимые переменные. Это надо учесть при выполнении операций.

...
ммм
вообще, в задаче ничего про это не сказано.

а если бы u и v были независимыми переменными, что тогда? Почему вот так получается?(см. выше)

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 18 июн 2012, 18:52

antacid1
вы решение-то до конца доведите

antacid1 писал(а):Source of the post
$\frac {b*d(a)-a*d(b)} {b^2} = \frac {y(dx)-x(dy)} {y^2}$ (1)
(2)

С учётом $\frac {a} {b} = \frac {x} {y}$ эти выражения не противоречат друг другу.

antacid1 · Сообщение **antacid1** » 19 июн 2012, 10:40

Dragon27 писал(а):Source of the post
antacid1
вы решение-то до конца доведите
antacid1 писал(а):Source of the post
$\frac {b*d(a)-a*d(b)} {b^2} = \frac {y(dx)-x(dy)} {y^2}$ (1)
(2)

С учётом $\frac {a} {b} = \frac {x} {y}$ эти выражения не противоречат друг другу.

:blink:
Спасибо Что-то я...

Ian · Сообщение **Ian** » 20 июн 2012, 12:00

antacid1 писал(а):Source of the post
Найти du, dv, d²u, d²v, если

$\frac {sin(u)} {sin(v)} = \frac {x} {y}$

Нужно все продифференцировать, выразить, подставить, выразить и все. Так?

Нет.Задача была ради иллюстрации теории. А вдруг бы ничего ниоткуда не выражалось?
Рассмотрим $\displaystyle f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2:(u,v)\to (u+v,\frac{\sin u}{\sin v})$
$\displaystyle g:\mathbb R^2\to\mathbb R^2:(x,y)\to (x+y,\frac{x}{y})$
Находим матрицы Якоби 2х2
$\displaystyle \left(\frac{\d f}{\d (u,v)}\right)$
$\displaystyle \left(\frac{\d g}{\d (x,y)}\right)$
По условию имеется векторное тождество
$$f(u,v)=g(x,y)$$

значит равны матрицы - производные левой и правой части по х и у
$\displaystyle \left(\frac{\d f}{\d (u,v)}\right)\left(\frac{\d (u,v)}{\d (x,y)}\right)=\left(\frac{\d g}{\d (x,y)}\right)$
Выражаем матрицу
$\displaystyle \left(\frac{\d (u,v)}{\d (x,y)}\right)=\left(\frac{\d f}{\d (u,v)}\right)^{-1}\left(\frac{\d g}{\d (x,y)}\right)$ , зависящую, вообще говоря, от $$x,y,u,v$$

и умножаем на столбец дифференциалов независимых переменных получаем ответ
$\displaystyle (du,dv)^T=\left(\frac{\d f}{\d (u,v)}\right)^{-1}\left(\frac{\d g}{\d (x,y)}\right)(dx,dy)^T$
А для вторых порядков отдельная песня

yourdomain.com